广义线性水库模型及其RC(阻容)网络模拟

胡兴艺(湖南省水文水资源勘测局水情处,长沙410007)

广义线性水库模型及其RC(阻容)网络模拟

胡兴艺
(湖南省水文水资源勘测局水情处,长沙410007)

在线性水库模型的基础上提出了广义线性水库模型这一概念。该模型根据电子与水分子的共同特征,利用数学和物理的方法推导出了线性水库模型与RC(resistance capacitance)网络模型的对称性,揭示了广义线性水库模型的参数及其内涵。一个较大的流域由许多小流域集合而成,一个小流域又由一些更小的集水单元组成。降落在流域上的雨水经过产流机制的作用汇集到流域出口形成流域径流。如果将每一个单元看成一个单一线性水库,根据其地理数据,无需历史观测资料我们就能方便地获得复杂流域模型的参数值。实例证明了广义线性水库模型RC网络模拟方法的正确性和可行性。

线性水库;饱和径流深;RC网络;模拟;电子;水分子

自然界中的水文现象是由众多因素相互作用的复杂过程,水文现象虽然发生在地表范围内,但与大气圈、岩石圈、生物圈都有着十分密切的关系,属于综合性的自然现象,水文科学属于地学范畴。迄今人们还不能对所有水文现象的有关要素进行实际观测,不能用严格的物理定律来描述水文现象各要素间的因果关系,还有许多问题未解决,严格的水文规律有待人们去认识和探索。

随着对现象及其各要素间因果关系认识水平的逐步提高和研究的不断深入,人们将复杂水文现象加以概化,既忽略次要的随机的因素,保留主要因素和具有基本规律的部分,据此建立具有一定物理意义的数学物理模型并在计算机上实现,这种仿水文现象为水文模拟,它是对水文现象的种种数学、物理和逻辑的概化。水文模拟首先就是要开发研制一个模拟流域水文过程所建立的数学结构,即水文模型。水文模型按照构建的基础分类有物理模型、概念性模型和黑箱子模型,按照离散程度分类有集总式模型和分布式模型。这些模型在进行水文规律研究和解决生产实际问题中发挥了重要的作用,推动了水文模拟技术和水文科学的发展。

1 流域汇流系统

科学的每一分支都有自己的一套“模型”理论,在模型的基础上可以运用数学工具进行研究。“系统”是近代自然科学和工程技术广泛使用的一个概念,为了便于对系统进行分析,同样需要建立系统的模型。模型是系统物理特性的数学抽象,通常以数学表达式或具有理想特征的符号组合图形来表征系统特性。流域汇流也可视做一个系统,对流域汇流系统来说,系统的输入是净雨过程,系统的输出是出口断面流量过程,而系统作用就是流域调蓄作用,如图1所示。根据流域汇流的物理过程,流域汇流系统必须是一个因果性的、守恒的和稳定——高阻尼的物理系统。

图1 流域汇流系统Fig.1 Convergence system of a basin

2 单一线性水库模型

单一线性水库模型是用一个线性水库来模拟流域调蓄的,如图2。流域水量平衡方程式和蓄量方程式可写为

图2 单一线性水库模型Fig.2 Single linear reservoir model

式中:I为流域净雨输入;Q为流域出口断面流量;V为流域蓄量;K为蓄量常数。其中流域蓄量V=S·h,S为水库底面积,h为水库相对高程。

合并式(1)和式(2)可得到下列一阶常系数线性

常微分方程

上式即为单一线性水库模拟流域汇流的基本微分方程式。在零初始条件下流域瞬时单位线为

即单位线性水库的蓄量常数K就是平均流域汇流时间。

如果流域处于退水阶段,则由于净雨早已停止,式(3)变为

式中Q(0)为退水开始时的流量。

式(8)表明,K值又可反映流域退水速度的快慢。K值大则退水慢,反之则退水快,这是与平均流域汇流时间的概念完全吻合的。对式(8)取对数,有

因此,退水曲线式(8)在单对数格纸上为一条截距为ln Q(0)、斜率为-1/K的直线。式(7)和式(9)可作为确定单一线性水库模型参数的基本关系式。

3 单一RC网络模型

单一RC网络模型由一个线性电阻R和电容C并联组成,如图3,其中A为内阻为∞的恒流源,且具有冲激函数特性输出。

图3 单一RC网络模型Fig.3 Single RC network model

式中:uC为电容两端的电压;iC为流经电容C的电流;iR为流经电阻R的电流;iS为恒流源A的冲激输出电流。

为了求uS(0+)的值,把上式在0-与0+时间内积分,得

即当t≥0+时,冲激电流源A相当于开路,所以可以求得电容C两端的电压为

式中:iR(0+)为开始时的电压;τ=RC为给定R,C电路的时间常数。τ值又可反映电容放电的快慢;τ值大则放电慢,反之则放电快。

4 广义线性水库模型

水文学与电子学在分析和研究各自问题时存在明显物理意义上的区别,水文学研究的客体是水,电子学则主要针对电的特性进行研究。虽然水和电有本质上的区别,但它们却有着共同的特性和规律。水在地表运动形成了水流,电子在导体中移动形成了电流。水体由落差可以形成水压,电在电阻两端可以形成电压。水可以截流在水库里,电也可以存储在电容器中,这些特性足以使这两门科学找到结合点。显然,由3,4节分析可得出如下对称性:

电容C是表示电容器容纳电荷本领的物理量,是由电容器本身的性质(由导体大小、形状、相对位置及电介质)决定的,与电容器是否带电无关。平行板电容器的电容C与介电常数εr成正比,与正对面积SC成正比,与极板间的距离d成反比。即

电阻R的主要物理特征是变电能为热能,也可说它是一个耗能元件,电流经过它就产生内能。电阻在电路中通常起分压分流的作用。通常情况下,导体的电阻R与电阻率σ成正比,与长度L成正比,与横截面积Sr成正比。即R=σLSr,代入式(19)得

假设电容器C介电常数εr和极板间的距离d为常数,电阻R的电阻率σ和横截面积Sr为常数。由图2所示,假设水库底面积S=SC,水库相对容深H=L,这里S可看作流域汇流面积,H为水库相对容深,这里可看作流域饱和径流深,也可看作流域平均高程,即水库蓄满时的高度。流域汇流面积S和高程H可以测算得到,由此可求得线性水库模型中K值。令γ=,由式(20)可求得水库相对容深,即:

通过以上分析,单一线性水库模型中只有常数K,而广义线性水库模型则引入了S和H,并揭示了K与S和H 2个参数之间的关系。同时,广义线性水库模型进一步得到了单一线性水库模型与单一RC网络模型物理意义上的对称性:

同理,如果将单一线性水库串联或并联来模拟流域调蓄作用,按照上述方法可得到串联和并联型线性水库RC网络模型。在实际中,流域汇流途径是交替进行的,即串流现象普遍存在,而线性水库模型中没有考虑这些因素的影响,由电子学理论可知,线性水库RC网络模型很好地解决了串流现象这一问题。

图4 渠水流域分布情况Fig.4 Qushui River basin

5 线性水库模型的RC模拟

根据流域地形特性,单一线性水库模型可以组合成串联型线性水库模型和并联型线性水库模型,同时还可组合成串并联相结合的线性水库模型。针对单一线性水库模型,K值是反映流域退水速度快慢的参数,首先获得K和S值后,根据式(21)可进一步获得H值,通过线性水库模型的串并联结构建立RC网络,代入相应参数,由于通过数学方法分析复杂的RC网络非常困难。随着计算机软件技术的发展,目前可实现在电子线路模拟软件上对RC网络的输入和输出进行定量分析,通过相应的关系换算即可获得任何时段流域汇流系统的汇流输出。根据“河流-流域”模型,一个流域可以按自然分水线分成若干个不嵌套的小流域,将子流域分布情况按流向连接起来进行流域汇流计算,该模型用RC网络来描述显得非常方便。湖南渠水是沅江支流中第三长河,如图4所示,该流域被划分为5个子流域,由此可得到一个串并联结构的RC

网络,如图5所示,它其实是有旁则入流的串并联混合型广义线性水库模型。

图5 等效RC网络模型Fig.5 Equivalent RC network

由于流域中高程对应于R值,流域面积对应于C,只要将相应地理参数代入RC网络中,根据系统分析和控制理论,且通过利用Matlab软件进行计算,即可获得该流域5个子流域的瞬时单位线。

表1 渠水流域岩头站以上地面径流RC模型计算对比表Table 1 Comparison of calculated and measured data of surface runoff for Qushui River basin in June,1989

已知瞬时单位线,再与各子流域站点时段净雨卷积后延时叠加可求得流域出口断面的流量过程线。表1中列出了渠水流域1989年6月一次洪水的地面径流计算和实测值对比。

6 结论

流域是分水线包围的集水盆地,降落在流域上的雨水经过产流机制的作用汇集到流域出口形成流域径流。一个较大的流域由许多小流域集合而成,一个小流域又由一些更小的集水单元组成。如果将每一个单元看成一个单一线性水库,我们只要根据其地理特征就能方便地确定模型的参数。对于一个复杂的流域的产流机制,可以用多个单一线性水库的串并联结构来模拟,但数学方法直接求解将相当困难,如果利用文中理论,将流域等效成串并联RC网络,在计算机上能很方便的模拟出净雨和径流过程。

[1]邱关源.电路[M].北京:高等教育出版社,1989.

[2]芮孝芳.径流形成原理[M].南京:河海大学大学出版社,1991.

[3]胡兴艺.河段水位预报RC模型[J].水利水电科技进展,2007,(2):52-54.

(编辑:赵卫兵)

Generalized Linear Reservoir Model and Its Simulation by Resistance-Capacitance Network Circuitry

HU Xing-yi
(Bureau of Hydrology and Water Resources Survey of Hunan Province,Changsha 410007,China)

This article creates a generalized linear reservoir model from linear reservoir model.It is based on the common characteristics of electrons and water molecules,and uses mathematical and physical methods deriving the symmetry for the generalized linear model of the reservoir and the resistance capacitance(RC)network model,thus,revealing their parameter connotations.A large valley is gathered together by a number of small valleys,a small valley is formed by some of the smaller catchment units.Rainfall in the valley through the rain runoff mechanism collects to a basin export,and forms a watershed runoff.If each unit is regarded as a single linear reservoir,according to their geographic data,and without the history of observed data,the complex parameters of this model basin can be obtained.In the end of the text,we demonstrate the accuracy and feasibility of the generalized linear reservoir model of RC network simulation by an example.

linear reservoir;saturated flow depth;RC network;simulation;electron;water molecule

TV121;N945.12

A

1001-5485(2009)05-0018-04

2008-07-21;

2008-11-19

胡兴艺(1973-),男,湖南汨罗人,高级工程师,硕士,主要从事水情工作,(电话)0731-5486222,13574858764(电子信箱) googolmyrice@126.com。