善用两多，妙解平衡
2009-07-23韩连牛正军
韩 连 牛正军
同学们选择什么样的方法、通过什么样的途径获取知识，直接关系到其收获的大小。一题多解与一题多变的学习方法可能对同学们的学习有所启发，一题多解可以拓宽学习思路，实现巧解；一题多变可以加深对所学知识的进一步理解，实现巧学。通过多解、多变，同学们既能跳出题海，又能提高分析、解决问题的能力。
【例1】 如图1所示，OA、OB两绳所能承受的最大拉力分别是35 N、20 N，它们的上端固定在天花板上，若在它们的下端O挂接一物体，为不使绳子断裂，则该物体的质量最大不能超过多少？（取g=10 m/s2）
图1
◎ 解法一：力的合成法
图2
【分析】 物体的受力如图2所示，由物体的平衡条件可知，FA与FB的合力与mg等大反向。因此，以FA、FB为邻边，mg的反向延长线为对角线作平行四边形，由平行四边形边长的长短可看出绳OB受的力大，且能承受的最大拉力比绳OA小，先断的是绳OB。要使绳不断，应以绳OB承受的最大拉力20 N为已知条件，列物体的平衡方程，求出m的极值。
FB sin30°=FA sin60°
FB cos30°+FA cos60°=mg
联立解得
m= kg
◎ 解法二：力的分解法
图3
【分析】 重力mg产生了两个效果，一个是拉OA的力FA，一个是拉OB的力FB，以此为邻边，mg为对角线作平行四边形，如图3所示，由平行四边形边长的长短可看出绳OB受的力大，且其能承受的最大拉力比绳OA小，先断的是绳OB。要使绳不断，应以绳OB承受的最大拉力20 N为已知条件，列物体的平衡方程，求出m的极值。
mg cos30°=FB
解得m= kg
◎ 解法三：正交分解法
图4
以物体为研究对象，受力如图4所示，由物体的平衡条件列方程
FB sin30°=FA sin60°
FB cos30°+FA cos60°=mg
令FA =35 N可求得m1=7 kg
令FB =20 N可求得m2= kg
因为m1＞m2，所以为不使绳子断裂，最大只能挂质量为 kg的物体。
◎ 解法四：矢量三角形法
当绳的下端O挂接物体的质量不断增大时，OA、OB两绳所受的拉力同时增大，为了判断哪根绳先断，可选物体为研究对象，其受力如图4所示，假设两绳都不断，则由物体平衡条件可画出由三力组成的矢量三角形，如图5所示，由图求得
图5
FA=mg sin30°，令FA=35 N可求得m1=7 kg
FB=mg cos30°，令FB=20 N可求得m2= kg
因为m1＞m2，所以为不使绳子断裂，最大只能挂质量为kg的物体。
点评 解法1、2利用力的合成与分解的方法进行列式求解，但关键是要从平行四边形中分析判断出在质量不断增大时哪根绳先断，只要判断出哪根绳先断，就用此绳所能承受的最大拉力为条件代入方程求解。解法3、4根据力的示意图列出方程后，分别以FA=35 N、FB=20 N为已知条件求得m1、m2。比较m1、m2得出结论。
【跟踪训练】
1. 如图6所示，两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为S，已知两绳所能承受的最大拉力均为F，则每根绳的长度不得短于多少？
图6
【例2】 如图7所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拴在竖直墙上的B点，A 和B到O点的距离相等，绳长是OA的2倍。一质量可忽略的小动滑轮K下面悬挂一质量为m的物体，不计摩擦。现将动滑轮和物体一起挂到细绳上，达到平衡时，细绳受的拉力多大？
图7
【分析】 因挂钩光滑，所以绳AK、BK的张力必相等，这是求解此题的关键，利用几何关系求出角α是求解此题的难点。
◎ 解法一：相似三角形法
物体的受力图如图8所示，由几何关系知△AKE∽△KBD
图8
设KB为X，KD为Y，由几何相似三角形知：
=
即=
解得=2
sinα==，得α=30°
由物体的平衡条件知
2F cos30°=mg
解得F=mg
◎ 解法二：矢量三角形法
由物体平衡条件可画出由三力组成的矢量三角形，如图9所示，又由图8所示几何关系知，KB与KC以水平线KD对称。
图9
则KB=KC
故几何三角形与力的矢量三角形相似
由几何三角形与力的矢量三角形相似的关系得
==
解得F= mg
◎ 解法三：对称法
如图8所示，由几何关系知KB与KC以水平线KD对称
则KB=KC
sinα==，得α=30°
由物体的平衡条件知
2F cos30°=mg
解得F= mg
点评应用对称性求解时，不仅考虑力的对称性，也要考虑其他方面的对称性。【例1】中的解法与【例2】中的解法都采用力的矢量三角形的思路配合不同的求解过程，但繁杂差异却很大，由此可看出，不同的背景材料和已知条件，采用同一方法，解题的过程却出现很大的差异。思路是关键，方法是基础，坚实的数学基础是解决物理问题的保证。在解题分析过程中要考虑解题的方法，更重要的是理清解决问题的思路，才能使得解题过程简单、快捷。物理问题的研究，如同打一场战斗，可“正面进攻”，也可以采用“迂回”、“包抄”等策略，通过灵活、精巧的方法提高分析、解决问题的能力。
【跟踪训练】
2. 如图10所示，长为5 m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距4 m的两杆顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12 N的物体，平衡时，绳中的张力是多少？
图10
【例3】 质量为m的物体放在摩擦因数为μ的水平地面上，在力F的作用下处于匀速运动状态。若力F的方向水平向右，求物体所受力F的大小。
解：物体的受力如图11所示，由物体的平衡条件列方程
图11
FN=mg①
f=μFN ②
F=f ③
联立解得：F=μmg
【变题1】 例3中的其他条件不变，F与水平方向的夹角为α，求物体所受力F的大小？
【分析】 力F的方向可能斜向上，也可能斜向下，因此要分别求解。
解：斜向上时，物体的受力如图12所示，由物体的平衡条件列方程
图12
FN+Fsinα=mg ①
Fcosα=fμ②
f=μFN ③
联立解得F=
斜向下时，物体的受力如图13所示，由物体的平衡条件列方程
图13
FN=mg+Fsinα①
Fcosα=f ②
f=μFN③
联立解得F=
【变题2】 例3中的其他条件不变，F斜向下与水平方向的夹角为α，当α为何值时，不论F有多大都不能推动物体，这种现象称物体的自锁。
解：物体的受力图如图13所示，由物体的平衡条件列方程
FN=mg+Fsinα①
Fcosα≤μFN②
联立解得
cosα-μsinα≤③
当F→∞时
cosα-μsinα≤0
tanα≥
即α≥arctan时，不论力有多大都不能推动物体。
【跟踪训练】
3. 变题2中的其他条件不变，当α为何值时F最小？
4. 如图14所示， 质量为m的木块靠在竖直的墙壁上，木块与墙壁的最大静摩擦因数为μ，有人用斜向上与墙壁夹角为α的力F推木块，但木块处于静止状态，求推力的大小。
图14
5. 4题中的其他条件不变，但木块处于匀速运动状态，求推力的大小。
6. 4题中的其他条件不变，当α为何值时，物体处于自锁状态。
【例4】 如图15所示，质量都是m的A、B、C三个木块叠放在一起放在水平地板上，它们之间及与地板间的摩擦因数均为μ，用大小为F的力拉物体A，使A匀速运动（B、C运动情况不明），求摩擦系数μ的大小。
图15
解：A、B、C的运动情况可能有三种：
①只有A运动，B、C静止，物体A为隔离体，A物体的受力如图16所示，由物体的平衡条件可得
F=fBA=μ mg
得μ=
图16
②只有A、B运动，C静止，物体A、B为隔离体，A、B物体的受力如图17所示，由物体的平衡条件可得
F=fCB=2μmg
得μ=
图17
③A、B、C一起运动，A、B、C整体为研究对象，受力如图18所示，由物体的平衡条件可得
F=F地C=3μmg
得μ=
图18
点评在B、C运动情况不明时，要进行分析讨论，应考虑到B、C可能的运动情况，思维不能局限在只有A匀速运动。
【变题】 例4中的其他条件不变，用大小为F的力拉物体匀速运动（不明确F作用在哪个物体上），求摩擦因数μ的大小。
【分析】 1. 若力F作用在物体A上，情况完全与例4相同。
2. 若力F作用在物体B上，那可能是A、B一起运动，C静止，或是A、B、C一起运动，情况完全与例4中的②③相同。
3. 若力F作用在物体C上，那只能是A、B、C一起运动，情况完全与例4中的③相同。
点评 力F作用在哪个物体上，哪个物体在匀速运动，题目所给条件含糊不清，似乎有问题。但细心的同学可能会看出出题者有意识地在考查、培养同学们的发散思维能力与综合分析问题的能力。
【跟踪训练】
7. 例4中的其他条件不变，若AB、BC、C地间的摩擦因数分别为μ1、μ2、μ3，力F作用在物体B上，使B匀速运动，试求力F的大小。
8. 例4中的其他条件不变，若AB、BC、C地间的摩擦因数分别为μ1、μ2、μ3，且μ1＞μ2＞μ3，力F作用在物体B上，恰使A、B一起匀速运动，在力F不变的情况下，要使A、B、C一起匀速运动，求μ3应满足的条件。
点评 前面几个题目中的背景材料同学们比较熟悉，有似曾相识的感觉，但通过旧题新编，改变问法，立刻给旧题赋予新意，有老树发新芽的感受。“一题多变”将命题通过一定程序由浅入深，不断加深与扩充，不但可以升华所学知识，还可以开阔思路，实现思维的再发散，从而提高解决问题的能力。
