一道力学题的六种反思

杨秀润

本文从一道力学题出发，以兴趣为思维主线，提出六种反思，逐个突破。

例 如图1所示，斜面倾角为θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8），一木块从斜面顶端A点由静止开始下滑，当滑到B点时进入水平面，滑行到C点停止。已知木块与斜面以及木块与水平面之间的动摩擦因数相同，AB和BC距离相等且为s，不计木块从斜面底端进入水平面时的机械能损失。

（1）木块与斜面以及木块与水平面之间的动摩擦因数μ是多大？

（2）若s＝5 m，则木块刚进入水平面时的速度大小是多大？

解析 （1）对木块从A到C过程，由动能定理有：

0－0=mgs•sinθ－μmgcosθ•s－μmgs，①

解得：μ==

（2）对木块从A到B过程，由动能定理有：

mv2B－0=mgssinθ－μmgcosθ•s， ②

解得：v= m/s

多数学生对此题的解法上，先用运动学公式解答，然后用上述方法（动能定理）解答，发现后者解答过程要简便得多，于是高兴地“画上了句号”。笔者认为，本题到此境界，方兴未艾，举一反三，回味无穷！

反思一：若木块在A点以初速度v0下滑，其余条件不变，则滑到C点时速度大小为多少？

解析 对木块从A到C过程，由动能定理有：

mv2－mv20=mgs•sinθ－μmgcosθ•s－μmgs， ③

由①③式得v=v，即木块滑到C点时速度大小也为v0。

分析 观察①式，容易发现其中的“－μmgcos37°•s”也可以理解为“－μmg•scos37°”，其中“scos37°”为斜面长度s在水平面上的投影BD。

反思二：如图2所示，若保持斜面长度在水平面上的投影之和BD不变，木块与斜面和水平面之间的动摩擦因数相同，而将图1中的斜面AB改为AEB，木块从A点由静止开始下滑，不计木块在E、B处的机械能损失，则滑到何处停止？

解析 设AE=s1，ＥＢ＝s2，则木块从Ａ到Ｂ的过程中摩擦力做功为：

Wf1=－μmgcos∠1•s1－μmgcos∠2•s2=－μmg（s1cos∠1+s2cos∠2），④

由几何关系得：s1cos∠1+s2cos∠2=BD=scosθ，⑤

设水平面上滑行距离为L，对木块从A点出发到停止的过程，由动能定理有：

0－0=mgs•sinθ+Wf1－μmgL，⑥

由①④⑤⑥式得：L=s，

可见，在水平面上滑行距离为s，即木块滑到C点停止。

反思三：如图3所示，若保持斜面长度在水平面上的投影之和BD不变，木块与斜面和水平面之间的动摩擦因数相同，而将图1中的斜面AB改为AEFB，进而改为图4所示的相同动摩擦因数的曲面APB，让木块从A点由静止开始下滑，不计木块在各斜面底端的机械能损失，则木块滑到何处停止？

解析 同理，将曲面APB从B到A开始依次分为n段小斜面，各段小斜面的长度依次为s1，s2，…，sn，倾角依次为∠1，∠2，…，∠n，木块在APB过程中摩擦力做功为：

Wf1=－μmgcos∠1•s1－μmgcos∠2•s2－…－μmgcos∠n•s，⑦

s1cos∠1+s2cos∠2+…+sncos∠n=BD=scosθ，⑧

由①⑥⑦⑧式得：L=s，

可见在水平面上滑行距离也为s，即木块仍然滑到C点停止。当n=3时，可得出图3所示结论。

分析 可将①式变形为

0－0=mgs•sinθ－μmg（cosθ•s+s），⑨

容易发现其中的“s•sinθ”为斜面的高度AD，设AD=h； “cosθ•s+s”为斜面长度在水平面上的投影与水平距离之和CD，设CD=l，如图5所示。则由⑨式得μ=，即μ=tanα，易知木块恰好能沿斜面AC匀速下滑。

反思四：如图5所示，若保持斜面的高度h、其动摩擦因数μ不变，改变斜面倾角θ（α＜θ＜90°），让木块从A点由静止开始分别沿不同斜面下滑，不计木块从斜面底端进入水平面时的机械能损失，则木块滑到何处停止？

解析 设木块在水平面上滑行距离为Lx，则全过程中摩擦力做功为：

Wf =－μmgcosθ•－μmgLx，⑩

由⑨式得：0－0=mgh－μmgl，

对木块全过程由动能定理得：0－0=mgh+Wf ，

由⑩式得：Lx=l－，

因为为斜面在水平面上的投影，

所以木块滑到C点停止。

分析 综合“反思三”和“反思四”的结论，容易推知：保持A、D、C三个位置和其他条件不变，改变B点位置，如反思五：如图7所示，若保持其动摩擦因数μ、斜面倾角θ不变，将水平面向下平移Δh，让木块从A点由静止开始沿斜面下滑，不计木块从斜面底端进入水平面时的机械能损失，则木块滑到何处停止？

解析 设木块运动全过程的水平位移为x，由上述分析可知：

0－0=mg（h+Δh）－μmgx，

又有： μ=tanα，

由式得：x=

分析 观察“x=”会发现x实质是Rt△AD1C1的底边，如图8所示。可见，将水平面向下平移一个任意高度Δh，木块最后停止的位置始终在直线AC与水平面的交点上！同理，将水平面向上平移一个任意高度Δh，上述结论仍然成立。

反思六：若保持斜面的高度h、其动摩擦因数μ不变，让木块从A点由静止开始分别沿不同曲面下滑，如图9所示，不计木块从斜面底端进入水平面时的机械能损失，则木块滑到何处停止？

分析 根据“反思三～五”结论，容易推知：木块将分别滑到其水平面与直线AC的交点C、C1、C2、…位置处停止。