速度—时间图象巧解物理题

翟厚岚

图象法解题常常会将原本很麻烦的解题过程变得很简单，出现意想不到的效果。因为图象法可以把各个物理量之间的相互关系很清晰地通过图象描绘出来，从图象中可以一下子找到解题的切入点和捷径，通过几步简单的运算就能迅速解决问题。下面我们通过几个例题来说明图象法是怎样巧解物理问题的。

一、用速度—时间图象法巧解往复运动问题

例1 一光滑斜面全长18 m，一小球自斜面顶端由静止开始释放，经3 s到达斜面底端，若在该球释放的同时，有第二个小球以一定的初速度沿斜面从底端向上运动，在滚动一段距离后再向下滚动，结果与第一个小球同时到达斜面底端，求第二个小球上滚的初速度？

解析 因为两个小球在同一个斜面上运动，运动的加速度相同，反映在图象上应该有相同的斜率。虽然第二个小球有反向的运动，但在图象中可以看到的就是两条平行的、具有相同斜率的直线，如图1所示。

因为两个小球运动的时间相同，而第二个小球上行与下行的时间也相等，因而从图中就可以看出，第二个小球的初速度v0大小等于第一个小球运动的中间时刻速度v中，而第一个小球的中间时刻速度v中又等于全程运动的平均速度大小，即等于总位移除以总时间。于是第

二个小球的初速度v0一步就解出来了。

由图象中可以看出：

v==== m/s=6 m/s

小结 从图象中很容易看出相关物理量之间的关系，从而简化了解题过程。

二、用速度—时间图象对物体运动的情况迅速作出判断

例2 一个物体做变加速直线运动，依次经过A、B、C三点，B为AC的中点，物体在AB段的加速度恒为a，在BC段的加速度恒为a2，已知A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，有vA＜vC，且vB=（vA+vC）/2，则加速度a1和a2的大小为（）

A. a

C. a>a D. 条件不足无法确定

解析 若物体做的是匀变速直线运动，我们就可以作出满足vB=（vA+vc）/2的一条直线，如图2所示，但是这样B点不是位移的中点，当然就不满足题意了。必须在满足速度关系vB=（vA+vc）/2的前提下，再保证两部分位移相等。如图3所示，这时在速度—时间图象中就可以清楚地看到两部分斜率的大小关系，即a1＜a2。故选A。

小结 用图象法分析解题，直观快捷。

三、用速度—时间图象找到成比例的位移关系

例3 一石块从塔顶之上的某一高度处自由下落，不计空气阻力，它经过塔顶下方高度h处速度正好是它经过塔顶上方高为h处初速度的2倍，求该石块是从离塔顶多高的地方开始下落的？

解析 由题意可知，在石块经过塔顶上、下h处的速度v1、v2之间存在着2倍的关系，即v2=2v1，因此可以画出初速度等于零的匀变速直线运动的图象。在图象中也可以看到这两个位置时间的2倍关系，而在这一段时间里，塔顶又把位移分成了相等的两份，如图4所示。由初速度等于零匀加速直线的运动在相同时间内有1∶3的位移关系，因此，由图象可以看出：

2h=3s

所以H=s+h=5h/3

小结 从图象中很容易地看出了h与s的关系，从而简化解题过程，减少解题步骤，直接写出结果。

四、图象法解题轻松实现参照物的转换

例4 一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为s处有另一列火车正沿同一方向以比较小的速度v2做匀速运动，于是他立刻刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？

解析 由已知条件，我们作出了两列火车的速度—时间图象，如图5所示，其中列车的速度由v减为v的过程中发生的位移是对地的位移s1，而不是题目中给出的位移s。

如果列出方程，即：a=。

因此，还得再找其他辅助方程才能解得答案。但是如果把坐标轴的横轴上移至v2，如图6所示，即相当于以前方的列车为参照物，这时后面的列车相当于速度从“v1-v2”减为零，两列火车发生的相对位移就是题目中给出的已知位移s。

即：a≥

因为方程中涉及到的量都是已知量，因此解题就变得非常简单。

小结 从图象中可以看出，改换了坐标系就相当于改变了参照物，解题变得很简单了。

例5 一人逆水游泳，在经过一座桥时失落一水壶，发觉时已过了半小时。他立刻回头寻找，对水游泳的速度不变，在离桥1 000 m处找到水壶，求水流速度。

解析 设水速为v1，人对水的速度不变设为v，则人逆水而上时的速度为v-v1，顺水而下时的速度为v+v1，画出的速度—时间图象如图7所示。如果把坐标轴的横轴上移到v1，就相当于以水为参照物了，这样人不管是逆水还是顺水，其对水这个参照物的速度大小都是v，即人追赶水壶的时间和自水壶落入水中到被人发觉的时间相等。这时画出的速度—时间图象如图8所示。

这时写出对应的方程就是：

1 000=v（t+t）

t2=t1=0.5 h

解得：v1=1 000 m/h

小结 借助图象法思考，使得变换参照物解题成为可能，而且很容易实现和理解。

例6 甲物体从离地高度为h处自由下落，同时在它正下方的地面上乙物体以速度v0竖直上抛，若要乙物体在下落过程中与甲相碰，则v0的取值范围如何？

解析 按照题意，取地为参照物，画出速度—时间图象如图9所示。若取自由下落的甲物体为参照物，乙物体做的就是向上的匀速直线运动，如图10所示，则

h=vt

要让乙物体在下落过程中与甲相碰，须满足：

≤t≤

所以≤v≤

小结 用图象法解题时，把做自由落体运动的物体作为参照物，也不困难了。

五、在速度—时间图象中加画辅助线找到相关物理量的关系

例7 一物体置于光滑水平面上，从A点由静止向右做匀加速直线运动，到达B点时物体加速度突然反向，物体仍做匀变速直线运动，结果经相同时间物体又回到出发点，此时物体速度大小为8 m/s，求物体到达B点时速度的大小。

解析 由题意已知物体离开出发点又回到出发点的运动过程中，发生的正位移与负位移相等，但发生正位移与发生负位移的时间不相等，如图11所示，这样列方程时就遇到了困难。如果在图象中加画辅助线后，s+s1=s+s1，由梯形的面积等于大三角形的面积，顺利地找到了面积相等的关系，于是列出了下面的方程：

=

有2v=v

所以v=4 m/s

小结 在图象中加画辅助线，变疑难为简单。