浅谈数学概念的教学

张勇赴

数学概念是一类对象空间形式或数量关系方面本质属性的反映,是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提,是数学学科的灵魂和精髓.高中数学课程标准指出:“高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理,通过典型例子的分析和学生自主探索活动,使学生理解数学概念?结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”。

实际教学过程中,许多教师都存在“重解题技巧教学。轻数学概念教学”的倾向,一些教师刻意追求概念教学的“最小化”与习题教学的“最大化”,并美其名曰“大容量、快节奏”。实际上这是一种应试教育思想指导下典型的舍本逐末的错误做法,致使学生在没有理解数学概念的情况下,无法形成能力,只会盲目模仿老师对某些典型题的特定解法;一旦碰到新颖的题目就束手无策。在教学实践中,笔者深切感受到:必须加强概念教学,唯有如此才可以夯实数学基础,提高学生的解题能力,培养学生的逻辑思维能力,这是当前提高高中数学教学质量的“治本”之策。以下结合实践谈谈概念教学的一些具体做法与体会。

一、从具体而直观的实例中认识概念

数学概念的引入,应从实际出发,创设情景,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子,学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识。通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性。如在“异面直线”概念的教学中,教师应先展示概念产生的背景,如长方体模型和图形,当学生找出两条既不平行又不相交的直线时,教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线,接着提出“什么是异面直线”的问题,让学生相互讨论,尝试叙述,经过反复修改补充后,给出简明、准确、严谨的定义:“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。在此基础上,再让学生找出教室或长方体中的异面直线,最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识,同时也经历了概念发生发展过程的体验。

二、在寻找新旧概念间联系的基础上讲清概念

数学概念具有很强的逻辑系统性,多数数学概念都是在原始概念的基础上形成的。比如“单调递增函数”的概念就是建立在“函数”、“区间”、“自变量”、“函数值”、“不等式”等一系列原有概念的基础上,并加以逻辑推理而形成的。又如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义;(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义;(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:(1)三角函数的值在各个象限的符号;(2)三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系式;(4)三角函数的图象与性质;(5)三角函数的诱导公式等。可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。

如果学生对原始概念不清,新旧概念之间的联系不明,对新概念的学习就会产生困难。另一方面,学生“获得知识,如果没有完满的结构把它们联系在一起,那将是一种多半会被遗忘的知识”。因此在教学中应首先讲清相关概念,讲明概念之间的联系,帮助学生了解概念的体系。

三、从关键字、词入手理解概念

一般来说,数学中的每一概念在下定义时,总是用最简洁的语言、符号表述,给出概念后,应多角度、多层次地剖析概念,才有利于深刻地理解概念。通常应从以下三个方面进行“逐字逐句”地推敲:(1)找出概念中的“中心词”,并分层确定“限定语”。以“直线的倾斜角”的定义为例,其“中心词”显然是“直线与x轴所成的角”,但对此有几种限定:一是“直线向上的方向”,“x轴正向”;二是“最小正角”;三是补充规定:“当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0”。(2)特别注意分析概念中对范围的约束。如“椭圆定义”中,要求“定值”必须大于“两定点之间的距离”。(3)教学中要常常引导学生反问,如“椭圆定义”教学中,反问“若2a≤|F_{1F2|,动点轨迹会是什么样的呢?”通过分析得:当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2,当2a<|F1F2|时,平面上不存在这样的点。}

四、在实际应用中巩固概念

学习数学概念是为了应用概念解决实际问题,概念的实际应用反过来也可以促进学生对数学概念的学习。通过数学概念的实际应用,可以帮助学生及时巩固对数学概念的理解,培养学生重视概念学习的习惯,提高学生分析理解新概念,应用新概念解决实际问题的能力。如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,提出问题:已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标,试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了各种不同的解法。有的学生应用共线向量的概念给出了解法;还有一些学生运用所学过向量坐标的概念,把点A、C的坐标和向量D联系起来,巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

除此之外,教师通过反例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。如奇(偶)函数是函数中重要的概念,课本中的定义正确简练,但是在新授或高三复习时,发现有些学生对奇(偶)函数的内涵及判断方法没有完整领会,直接影响解题的正确率。原因之一是定义中由于没有突出函数的定义域在研究函数的奇偶性中的作用,因而容易给人造成错觉,以为只要形式上有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),f(x)就是奇函数或偶函数了。这时可以举例,判断函数f(x)=x^{2,x∈(0,2)的奇偶性,使学生进一步理解函数的定义域在判断函数奇偶性中作用。}

总之,在概念教学中,要根据课标对概念教学的具体要求及有关概念的自身特点,灵活选用适当的教学方法,优化教学过程,使学生深刻理解和牢固掌握相应概念,同时也是提高教学效率,减轻师生负担,提高教学质量的有效途径。