让学生也吃些“数学粗粮”

叶伟军

随着生活水平的提高，人们吃的大都是精粮，粗粮吃得很少。粗粮是相对于稻米、小麦、白面等精粮而言的一种称呼，主要是指包括玉米、高粱、小米、燕麦、薯类及各种豆类等食品。如今人们已意识到，长期吃过于精细的食物对健康并无好处，经常吃些粗粮是对健康有益的。笔者把这种饮食观与数学教学观结合起来，认为应让学生也吃些“数学粗粮”。

1、何谓“数学粗粮”

在实际教学中，笔者把教师为学生提供的习题以及现行数学教材中的习题比喻成“数学精粮”，这种习题代表性强，易于操作，但指向性太强，基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中往往是机械地模仿训练。

笔者提到的“数学粗粮”是指数学开放题。一般来说，一个数学问题，如果它的条件不完备、答案不唯一或者有多种解法，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索，就称这个数学问题为开放题。相对于传统的封闭题而言，开放题主要有2个特点。1)开放题并不是普通的数学问题，而是为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题。一道数学题的开放性在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式，即使是一道传统的封闭性数学题，也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习题，要求学生进行多方面、多角度、多层次的探索。2)条件多余需选择、条件不足需补充或答案不唯一或者有多种解法，在解题过程中，学生可以用自己喜欢的方式解答，可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法。

2、如何选择设计适合的“数学粗粮”

根据“数学粗粮”(即数学开放题)的特点，教师在选择设计适合的“数学粗粮”“食谱”时，既可以采取拿来主义，如引用现成的开放题，也可把“原材料”(及学习材料)进行加工设计，大致有以下基本类型。

2.1题型结构开放型

1)条件开放型。条件开放题是根据题中所给的结论、要求，从不同的角度去寻找获得解决这个结论的条件。如补充条件题：“(

)，学校3个年级共有学生多少人?(在整数范围内根据问题补充条件后解答)”该题要补充的条件全部开放，要求学生展开联想，发散思维，提出各种不同的可以解决问题的条件。

2)选择条件型。例：计算图1所示平行四边形的面积(单位：厘米)。笔者有意给出4条边和2条高的长度数据，要求学生选择图形中相关的数据计算平行四边形的面积。这样设计有助于学生找准关键条件，理解对应边与对应高。

3)多余条件型。例：“学校图书室共有图书7 200本，其中有文艺书600本，科技书480本。如果把这些书全部放在书架上，平均每个书架放250本，需要这样的书架多少个?”题中已知条件“文艺书600本，科技书480本”是多余条件，这样将有用条件和无用条件混杂在一起，形成干扰因素，让学生根据题意进行分析选择。

2.2结论开放型：这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题：也可以是提供一定的条件，满足条件的结论往往有多种的题型。这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题。

2.3综合开放型：某一数学问题，若题目的条件、解题策略或结论中有2项以上不确定，则为综合开放题。综合开放题可以是同学科的，也可以是跨学科的。

2.4操作开放题：该类题是比较好的数学开放题形式，充分体现了“让学生在做中学”的数学观念，促使学生动手操作实践能力的提高。例：“有10根小棒，每几根分一份，正好分完，有几种不同的分法?”让学生动手分一分，可以从每2根一份开始，对问题感受一下，然后教师引导学生发现其中的规律。其次，要鼓励学生多猜、多试。

3、“数学粗粮”的益处

“精粮”虽然易吃易消化，但要意识到，长期吃得过于精细必然会引起营养吸收不全面或机能的减弱，这喻示教育工作者要意识到，学生如果长期都依赖“数学精粮”，容易造常“咀嚼、消化”功能(即数学思维能力)的极大减弱，造成“重要营养”(即创新思维)的缺失，因此有必要正视“粗粮”的益处。

数学开放题的教学，倡导教师观念与角色的转变，关注以学生为主体，关注过程与方法、情感态度价值观。在数学开放题的教学中，需要教师成为教学内容和教学活动的设计者、组织者、调控者。另外，数学开放题具有解答的多样性，不像封闭题那样可以依葫芦画瓢，单靠模仿就可以完成，它需要学生通过积极思考、乐于挑战。有时仅靠个人的力量在有限的时间内是难以完成的，这就需要学生之间的合作、讨论、交流，培养交流与合作的能力。开放题解答的多样性和差异性，使其有了优与劣、多与少、简与繁的区别，也正是这种差异的存在，激发了学生的好胜心，对调动学习兴趣，追求思维多样性和独创性起了很大的促进作用。