由愚人事件说开去

昶　月

超级大难题

“今天的家庭作业——计算题一道！”下课的时候特爱布置作业的莫斯特老师宣布道。

“哇！太棒喽！”同学们一片欢呼。

“也许是为了‘庆祝明天的愚人节，老师特别开恩的吧！”班级里的“小糊队”队员小小、糊糊、队队一阵窃笑，想起去年愚人节他们好好捉弄了莫斯特老师，现在依然很得意。

绝对是阴谋

“哈哈，今天终于可以痛痛快快地玩了！”

“小糊队”队员们边走边商量着放学后的计划，他们决定先到小小家完成老师布置的那道计算题，然后痛痛快快去玩。

可是，当他们三人认真看了题以后，一个个愁眉苦脸起来——“被除数有非常多的填法！除数又很大!这怎么判断啊！”“若是一个个试，那什么时候能完成啊！”“我老爸会编程，或者用计算机编程能解决，可我老爸出差不在家!”……

第二天，三个小家伙顶着一夜没休息后的熊猫眼垂头丧气地来到学校，他们三人不约而同地达成了一个共识：这绝对是一个阴谋！

你被牵着鼻子走了吗？

莫斯特老师笑眯眯地站在讲台上，微笑着问大家：“哪位同学完成了昨天的数学题呢？”

“老师，这道题目我们小学生根本就没法解！”看见很多同学都低下了头不吭声，小小更坚定了自己的想法。

“哈哈！”莫斯特老师笑起来，“这道题目是Leo Moser为愚人节所作的一道趣味数学题。你那样认为的话，肯定是你中了出题者的圈套了。让我们从另一个角度来考虑如何解决这个问题吧！”

下面是一个28位数，不过空缺了10个数字。把空缺的数字填上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，每个数字只使用一次。

53838293658203

9376，问题是：这些28位数能够被396整除的可能性是多少？

若干除数的整除性快速判断

1. 能被2、5、3整除的数的特征

A：个位上是0、2、4、6、8的整数能够被2整除，也就是我们所说的偶数都可以被2整除；

B：个位上是0或5的整数都可以被5整除；

C：若一个整数各个数位上的数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。

友情提醒：我们常把2和5放在一起，因为，它们只看末位，很容易。为什么呢？因为它们的乘积为10。简单吧，也很好记！

另外，我们常把3和9放在一起，但要记住，能被9整除的一定能被3整除，能被3整除的不一定能被9整除。

2. 能被4或25整除的数的特征

如果一个自然数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个自然数就能被4或25整除，否则这个数就不能被4或25整除。

友情提醒：想一想为什么把4和25放在一起呢？因为它们的乘积是100。

3. 能被8或125整除的数的特征

如果一个自然数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个自然数就可以被8或125整除，否则这个自然数就不能被8或125整除。

友情提醒：想一想为什么把8和125放在一起呢？因为它们的乘积是1000。

4. 能被9整除的数的特征

如果一个自然数的各个数位上的数字之和，能被9整除，那么这个自然数就可以被9整除。（这个和能被3整除的自然数的特征差不多）。

友情提醒：和3放在一起吧。记住，被9整除的特征很重要，很多题目当你没有头绪的时候想到这个就会豁然开朗的！

5. 能被7、11、13整除的数的特征

一个整数的末尾三位数与末尾三位数之前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。

友情提醒：想一想为什么把7、11、13放在一起呢？这时候大家肯定会想到一点，它们的乘积呗！它们的乘积是1001。

引申：形如ABCABC这样的六位数，不管ABC各是什么，它们都一定能被7、11、13整除！

6. 能被11整除的数的特征

如果一个自然数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则不能被11整除。

友情提醒：这个经常用在求余数的问题上，如果要求一个数除以11的余数是多少，常常用这个规律。但一定要记住，是奇数位上的数字和减去偶数位上的数字和，如果不够减，先加上若干个11，然后再去减。直到你所求的余数是小于11大于0的数即可！

7. 能被一个合数整除的数的特征

先把这个合数分解成两个互质的数（不一定两个都是质数）。而且这两个互质的数一定是我们能判断的具有整除特征的数。（例如，6就要分解成2×3，72就要分解成8×9）

超级难题妙解答

396作为除数。因为396=4×9×11，一个数要被396整除，要同时满足3个条件：末两位被4整除，所有数字和被9整除，奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。

这个28位数末两位为76，能被4整除，所以不管其余空白处数怎么填写，所有大数都能被4整除。

已经给出的所有数字和能被9整除，空白数字0-9的数字和也能被9整除，所以不管空白数怎么填写，所有大数都能被9整除。

我们发现，所有的空白数都出现在偶数位上，因此空白处无论怎样填亦能被11整除。

综上所述，这些28位数能够被396整除的可能性是100%。

这题有趣吧？接下来，我们将整除问题进行到底。

整除问题继续探

1.四位数“3AA1”是9的倍数，那么这里的A是几呢？

分析与解已知“四位数3AA1是9的倍数”，那么，根据能被9整除的数的特征，各个数位上的数字之和3+A+A+1一定是9的倍数，请注意每个数位上的数字最大只能是9，因此，3+A+A+1的和可能是9的1倍或2倍，（想一想，可能是3倍或3倍以上吗？）我们用试验法来逐个试验：

① 如果3+A+A+1=9，那么A=2.5，不合题意。

② 如果3+A+A+1=18，那么A=7，符合题意。

事实上，3771÷9=419。

答：这个四位数中的A是7。

２．已知一个五位数“□691□”能被55整除,试求所有符合题意的五位数。

分析与解为了叙述的方便，我们不妨设五位数“□691□”为Ａ６９１Ｂ。五位数Ａ６９１Ｂ能被55整除，因为55=5×11，且5和11是互质数，所以说五位数既能被5整除，又能被11整除。根据这个五位数能被5整除可知：B=0或5。当B=0时，Ａ６９１0能被11整除，所以（A+9+0）-（6+1）=A+2能被11整除，因此A=9；当B=5时，同样可求出A=4。所以，所求的五位数是96910或46915。

答：符合题意的五位数有96910、46915。

３．六位数“42□28□”是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？

分析与解因为99=9×11，且9和11是互质数，所以“42□28□”既是9的倍数，又是11的倍数。根据能被９整除的数的特点，这个数各个数位上数字的和是9的倍数。“42□28□”这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16，因此空格中两个数字的和是2或11，（想一想，为什么？）我们把右起第一、三、五位看作奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据能被１１整除的的特点，奇位上数字的和与偶位上数字的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8（这里和前面的原理一样，想通了吗）。从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2，应该是11。显然它们的差不可能是8，应该是3，符合这两个条件的数字只有7和4。填入空格时要注意7填在偶位上，4填在奇位上，即原六位数是427284，又427284÷99=4316，所以所得的商是4316。

答：这个数除以99所得的商是4316。

看来，这个愚人节的收获真不小哦！