寻找数学中的“枊暗花明”

鞠成兵

象老师给同学们展示了一道在Q岛流传甚广的题目：一只螳螂来到母鸡大婶的鞋摊前，要买一双标价为45元的鞋(实际进价为35元)，螳螂给了一张百元大钞，母鸡大婶找不开，就到水果摊主青蛙那儿换了100元的零钞，找了55元给螳螂。螳螂走后，青蛙发现这是张假钞，就又从母鸡大婶那儿换回了一张100元真钞。母鸡大婶大喊倒霉。问：母鸡大婶在这次交易中损失了多少元?同学们给出的答案众口不一，有的说200，有的说155，还有说135、145、100的。

如果我们从三人复杂的关系中走出来，换个角度，思考另外两个人分别得了多少，就能很快得出答案了。青蛙用100元零钞换了一张100元假钞，后又换回，不亏不赚。再看螳螂，用100元假钞拿了一双鞋，进价35元，又得了55元零钱，他付出了0元，而得到了90元的好处，所以他赚了90元。那么，母鸡大婶就损失了90元，当然原来预期的10元利润不能算作亏损啦!

怎么样，一眨眼，我们轻松解答了这道难题。再来看一道题：

Q岛广场上有200盏彩灯，分别标号为1～200。国庆节晚上8点开始点亮，以供市民欣赏。彩灯明暗变化是按下面规律进行的：第1秒，所有彩灯全部点亮；第2秒，所有2的倍数号彩灯全部熄灭；第3秒，所有3的倍数号彩灯全部改变原来的明暗(即原来亮的就变暗，原来暗的就点亮)；第4秒是4的倍数号彩灯改变明暗……如此下去，请问：第200秒时广场上还有几盏灯亮着?

数量太复杂了。倍数关系研究不了，我们就来研究因数(约数)吧：每盏彩灯是在什么情况下会改变明暗呢?对了，就是当时间是灯号的因数(约数)时。如10号灯，它会在第1、2、5、10秒时改变明暗。当灯号的因数个数是偶数时这盏灯最后是暗的，当因数的个数是奇数时这盏灯最后是明的。因数个数是奇数的这个数肯定是个完全平方数。在200以内这些数分别是1z、2、3、4……142，即1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这14盏彩灯是明亮的。怎么样?只要反过来看，就化难为易了呀!

下面这道题，你能试试看吗?

如下图，你能用分数表示阴影部分的面积吗?(大正方形的面积看作“1”)

思路提示：

空白部分是由四个大三角形组成的，它共有几格?占大正方形的几分之几呢?

老歪观后感：以为自己“山重水复疑无路”时，莫要放弃，换个角度思考，定能寻找到数学上的“柳暗花明又一村“。