从探究中的逻辑问题谈起

张新春

《中小学数学》小学版2008年第11期发表了浙江上虞陆建江老师《探究到底要多深》一文，文中陆老师在听完“三角形内角和”一课并与专家现场对话后，作了自己的思考。主要涉及对以下教学环节的认识。

师：（拿出一张长方形纸）老师把这个长方形沿对角线剪成两个直角三角形，你能想办法再来验证三角形内角和是180度吗？

在学生思考较长时间后，教师引导两位学生完成以下推导（完成方式1的推导后，教师问“怎样拼成锐角三角形来验证？”）：

具体验证方法是，通过观察图形，得到三角形内角和即为(∠1+∠2)×2=90°×2=180°

陆老师质疑的是探究需不需要这样深。笔者在此要说的是，不管探究深浅，首先是不能有逻辑上的大问题。

探究三角形内角和的逻辑是：任意给定一个三角形，它的内角和是定值吗？如果是，这个定值是多少（当然，在这里，这两个问题是同时解决的）？而教师引导学生做的事是：将一个长方形剪成两个三角形，将这两个三角形拼成一个新的三角形，这个三角形的内角和是180度。显然这是两个不同的的问题。首先，因为一个长方形剪成两个三角形，用这两个三角形拼成的三角形都是等腰三角形，教师通过这一系列的研究，充其量引导学生探究了等腰三角形的内角和是180度，对于一般的三角形根本没有涉及。

另一方面，即使是要探究一个等腰三角形内角和是180度，符合逻辑的做法也不能是这位老师这样的做法，而应按完全相反的做法施行。即先任意给定一个等腰三角形，再沿这个等腰三角形底边上的高剪开，得到两个直角三角形，这两个直角三角形拼在一起是一个长方形。

也许有读者会说，在小学，用得着讲这么多逻辑吗？你再讲逻辑，三角形内角和还不是通过几个特例后即作出一般结论！逻辑的力量同样很弱。笔者要说的是，科学性与量力性相结合的原则无疑要坚持，但这个原则指的是，如果对科学性的要求超出学生的认识水平，量学生之力而不能接受，则按此原则适当牺牲科学性要求，以达到学生能理解的目的。如三角形内角和问题，若硬是要从平行公理开始，则与学生的认识水平不相适应，学生无法接受，因此，我们采用实验的方法，不完全归纳的方法得到结论。但即使是实验，即使是不完全归纳，我们也应该尽可能使其逻辑性稍强，比如举例时不限于某一种特殊情况，而是尽可能各种类型的例都举出来验证一番。强调这种意义上的逻辑性完全在学生的认识水平范围之内。让学生在其能力与认识水平范围之内思考问题尽量符合逻辑，考虑问题尽量全面，这也应该是数学教学的基本意义所在。

以上为其一。

其二，陆老师文章中介绍的专家评课时指出，四边形的内角和是由三角形内角和推导出来的，由长方形的内角和推出三角形的内角和有循环论证之嫌。由此看来，评课的专家也看重逻辑问题。但到底应该如何看待用长方形内角和推导三角形内角和的问题呢？笔者认为，这里不存在循环论证的问题，因为长方形的内角和并不需要由三角形内角和定理得到。所谓四边形内角和由三角形内角和推导，指的是一般的四边形。像平行四边形（特殊的如长方形）、梯形这类特殊的四边形，其内角和是不必由三角形内角和定理推出，而只需利用其定义并得用平行线的有关公理、定理即可得到。

那么，如何利用长方形的内角和（准确的说是利用长方形四个角都是直角）的结论来推得三角形内角和是180度才是合符逻辑的呢？

首先，对于任意直角三角形，其内角和是180度。这一点由两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形即可得到（值得注意的是，这里是用任意给定的、即要研究的直角三角形拼出长方形，而不是用长方形来剪出直角三角形。换句话说，对于任意给定的直角三角形，都可以找到一个长方形，沿对角线剪开后，得到的三角形与给定的三角形是完全一样的，总之，出发点必须是任意给定的三角形，而不是长方形）。

其次，对于任意三角形，总可以通过作某一条高，将其分成两个直角三角形。这两个直角三角形的内角和之和是360度，这个和与原来三角形的内角和相比，多出一个平角，于是原来三角形的内角和是180度。

值得说明的是，三角形是最基本的多边形，直角三角形是特殊的三角形，研究多边形的内角和，从三角形开始，继而从直角三角形开始，这种从简单到复杂，从特殊到一般的思路是研究问题很自然的思路。笔者曾用完全类似于上述方法处理过多边形面积的教学，效果较好。其基本思路是在长方形面积计算方法的基础上，得到直角三角形的面积计算，继而任意一个三角形，都可以通过作高分成两上直角三角形，这两上直角三角形面积之和即为原三角形面积（钝角三角形处理起来有点特殊，有一种情况是两个直角三角形面积之差）。于是平行四边形，梯形面积都只需通过对角线将其分割成两个三角形处理即可。这里同样充满从特殊到一般，从未知到已知的转化。

（责任编辑：李再湘）