“浅探二次函数中的三角形问题”教学实录及教学反思

王清明

教学内容：初三中考 “函数”复习课。

教学目标：

1.知识与技能目标：⑴会根据二次函数提供的信息，较快求出解析式、顶点坐标与坐标轴的交点坐标；⑵掌握在二次函数图象中求出特殊三角形面积的方法；⑶能根据图象中提供的信息正确地“读解”图象中更多的有效信息；⑷利用二次函数图象中的三角形相似，或直线平移求出符合条件的直线与抛物线的交点坐标。

2.过程与方法目标：⑴通过对二次函数图象的分析探讨，体会到图象中几个特殊点的坐标在解决三角形问题中的重要性；⑵通过对二次函数图象中三角形问题的探讨，体会到数形结合的数学思想在解决函数问题中的重要性和优越性。

3.情感态度和价值观目标：⑴通过对二次函数中三角形问题的探讨学习，渗透数形结合的教学思想，构建“数想形”“形思数”的数学思维方式和意识；⑵通过对具体数学问题的解法的探究，让学生学会学习，学会合作，从而形成团队合作的精神。

教学重点：根据二次函数的图象或解析式求出特殊三角形的面积；或利用三角形相似、全等，或通过平移等知识求出符合条件的直线与函数图象的点的坐标。

教学难点：在二次函数图象中，利用三角形相似或通过直线的平移，求出符合条件的直线与抛物线的公共点的坐标。

教学过程：

一、 创设情境，导入课题

师：同学们，请观察图1，你认为在这个图象中，哪几个点较为特殊？

生1：点A、点B、点C、点O、点D。

师：为什么这些点较特殊呢？

生1：这些点分别是坐标原点、二次函数图象的顶点、以及图象与坐标轴的交点。

师：将这些点作为三角形的顶点，可构成哪些三角形？

生2：可构成△ABC、△BCD、△ABD、△AOD、△BOD……（见图2）

师：我们知道，三角形是最基本的几何图形，三角形问题也是最常见的数学问题，今天，我们就来探讨二次函数中的三角形问题（多媒体出示课题）。

二、 问题精析，初步引探

师：首先，我想就刚才出示的这个二次函数的图象提几个问题，不知同学们有没有信心来解决？

（学生齐声回答：有！）。

师：请根据图象中所提供的信息，说出A、B、C、D四点的坐标。

生2：这四点的坐标分别是：A（-1，0）、B（4，0）、C（3/2，-25/4）、D（0，-4）。

师：很不错！完全正确。那现在请同学们求出△ABC的面积，并说出你是怎么进行计算的。

生3：△ABC的面积为：1/2•AB•CE =125/8。

师：答得非常好！

师：如果将问题改成求△BCD的面积，可以怎么进行求解？

（学生思考）。

师：（良久没有学生回答）同学们可否由求△ABC的面积有所启示？

生：……

生4：可将CD延长，与X轴交于G，然后用△GCB的面积减去△GDB的面积，就可得到△BCD的面积。

生5：我还有一种方法，设二次函数图象的对称轴与BD相交于F，分别求出△DFC与△BFC的面积，它们之和就是△BCD的面积。

生6：还可将BC延长，使之与Y轴交于点M，然后用△BDM的面积减去△DCM的面积即可。

（教师根据学生的讲述在图象上添加了相应的字母。见图3）

师：太棒了，能谈谈你这样设想的原因吗？

生6：构造新的三角形，使其中一边落在坐标轴上，这样便于求出三角形的底边和高，进而求出三角形的面积。

师：李于同学真棒，我相信很多同学都和他一样，找到了在坐标系中求三角形面积的捷径。

师：同学们，学习数学就要这样，要能积极思考，善于发现问题中题设与结论之间的联系；在变化中发现规律。比如，这个问题到这里可以进行变式：就利用这个二次函数的图象（此函数的解析式已求得为ｙ＝ｘ-3x²-4），在图象上是否存在点Ｐ，使△ABP的面积为15，如若存在，求出点Ｐ的坐标；如不存在，则说明理由。

（教师将学生推向探究问题的边缘）

（学生或自主探索，或交流讨论……不久便有部分学生举手）

生7：根据题意，已知ΔABP的面积为15，底边AB=6，则边上的高为6，而这个值实际上就是点Ｐ的纵坐标，再将它代入此二次函数的解析式中即可求出点Ｐ的坐标。

（老师微笑地点了点头，没有发表意见）

生8：我认为底边上的高等于6，但这个值只是点到底边的距离，也就是说，点P的纵坐标可以为±6。

师：你们认为他的分析是否有道理？

（不一会，很多同学对刚才这位同学的分析表示赞成，并有部分学生通过计算求出了P点的坐标。）

师：周明同学考虑得很全面，请同学们仔细观察点Ｐ可能存在的几个位置。

（教师利用几何画板制成的动画演示点P的运动轨迹，△ABP的形状也随之发生变化。见图4）

师：请同学们根据刚才的分析尝试求出符合条件的点P坐标。

……

（教师利用多媒体展示了几位学生完成的计算，并进行点评。）

三、问题变式 深入导探

师：刚才，我们研究的的问题实际上是二次函数中常见的三角形问题。大家对于二次函数图象中的特殊三角形面积的计算有了初步认识，现在老师想就刚才的问题和大家进行更加深入的探讨，同学们是否有兴趣？

（多媒体出示问题——二次函数y=ax²+bx+c的图象如图5所示：1.求此函数的解析式；2.过点A作AP∥BD，交此抛物线于点P，求出点P的坐标。）

……

学生纷纷进行探索，寻求解决问题的方案，或独立思考，或相互交流。

生9：这个函数图象与坐标轴的交点坐标都可直接看出来，分别为：A（-1，0）、B（4，0）、D（0，-4），和前面的问题一样，可求得解析式也为ｙ＝x²-3ｘ-4。

师：不错，此问题的第一问可用待定系数法求得，也为ｙ＝x²-3ｘ-4，那点P的坐标有没有求出？

生：还没有。

师：请大家注意第二问中提供给我们的已知条件：AP∥BD，再结合前面我们已探讨过的问题，会有什么启示？

（学生进入思考状态，并开始了短时间的讨论）

（过了几分钟，部分同学似乎有了解决的方法，教师请同学发表看法。）

生10：由AP∥BD可得到∠DBA=∠BAP，设AP与y轴交于点M，又有∠AMO=∠BDO，可得到△BOD∽△AOM。（图6）

生11：因为点B和点D的坐标分别为（4，0）和（0，-4），所以BO=DO=4，又△BOD∽△AOM，所以AO=MO=1，这样就可以求出直线AP的解析式。

（老师让这些同学分别发表自己的看法，用赞赏的眼光看着他们，微笑着点点头，期待其他同学能有更多的更具体的解决问题的方案。）

生12：点P是直线AP与抛物线ｙ＝x²-3ｘ-4的交点，那么通过求出直线AP的解析式与ｙ＝x²-3ｘ-4组成的方程组的解便可得出点P的坐标。

师：不错，刘强同学能结合前面同学的想法，并联系前面学习过的知识，这种方法能较快地求出点P的坐标。还有没有不同方法？

（学生又进入短时间的探讨、交流）

生13：我认为，不需要证明△BOD∽△AOM，因为AP∥BD，所以直线AP可由直线BD平移得到，只要求出直线BD的解析式和MD的长度，能较容易求出直线AP的解析式。

师：很好，这种方法很新颖。

又有一位同学举手，并直接站了起来：“我还有一种方法。”教师示意他讲出他的方法。

生14：可以过点P向X轴作垂线，与x轴交于点N，（教师按学生所讲作出垂线。见图6）则有PN=AN ……

师：（教师示意这名学生停一下）你能说说为什么会有PN=AN？

生14：我也是由刚才这种方法联想到的，因为PN∥MO，会有△AOM∽△ANP，由OA=OM=1，所以有AN=PN，又PN是点P的纵坐标，ON是点P的横坐标，则PN=ON+1，设点P的坐标为（x,y），有y=x+1，又点P在抛物线ｙ＝x²-3ｘ-4上，利用这两个关系式可求出点P坐标。

教师带头鼓掌，这位同学很高兴地坐了下去。

……

师：根据刚才这些同学的分析，请大家选用适当的方法，尝试求出点P的坐标。

四、延伸拓展 导练提高

师：接下来，我想让大家冲刺一下往年的中考压轴题,看看今天所学的知识能否用得上。同学们有没有信心?

生:有……

(多媒体出示由2005年长沙市中考压轴题改编的试题）已知：抛物线y=1/3x²-2/3x-1与X轴交于A、B两点,A(x₁,0)、B(x₂,0)，且x₁﹤x₂，与Y轴交于点C（图7）。

1.若⊙M为△ABC的外接圆，则△MBC是

三角形；

A.等边三角形 B.等腰直角三角形

2.由⑴可求得⊙M的半径为 ；

3.过点A作直线AP平行于BC，与抛物线交于点P，可得点P的坐标为，以A、B、P为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由。

学生尝试解答……

最后,师生合作探讨,完成解答……

五：学习导结，认识提升

师：通过以上探究活动，你认为这节课有哪些收获？有什么体会？对今后的学习有什么帮助？

教师针对学生的发言进行点评并适当鼓励。归纳总结。

六、作业

根据最后一个问题，自行改编，提出一个新问题，并解答出来。

教学反思

“二次函数”和“三角形”都是初中数学的重要知识，将两者结合在一起进行探讨，则是学生学习数学知识的一个质的提升。将多个知识点融合在一起，让学生从中发现问题、提出问题、解决问题，这是对学生数学创新能力的培养，也成了中考综合解答题的出题方向。本节课，我对教学内容进行了创造性增补和整理，也意在培养学生这方面的能力。下面就这节课的某些特点作如下评析：

创设平台，诱导学生自主探究与合作交流

《数学课程标准》中明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此，在本节课中，我对教材进行创造性安排，创设了一组变式题，为学生创造了充分的数学活动机会和平台，但这些“果实”并不是让学生垂手而得，而是需要思考，需积极参与，在自主探索与合作交流中，去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法。本节课的每个环节都体现了互动性特点，给学生自由学习的时间和空间，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略，也培养了学生良好的数学学习习惯。

精选例题，变式深入，注重数学方法的归纳

在本节课的教学中，由一个简单问题入手，通过一步步的变式，层层深入， 让学生经历了知识的归纳、综合、发展的过程，让学生体会观察、猜想、验证的思想和数形结合的思想。让学生快速地“读解”函数图象中的有效信息，更好地理解函数解析式与其图象之间的内在联系，掌握在函数图象中如何求解三角形的面积，利用平移的方法求函数解析式以及运用三角形相似等方法求得特殊点的坐标，以发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。到问题变式的最后，引出了经过改编的往届中考题，让学生再一次体会到：其实“难题”也是由一些简单知识点积淀而成,并不是那么高不可攀。这对学生良好的数学思维品质的形成有着重要的促进作用，对学生的终身发展也有积极影响。

充分发挥多媒体的辅助功能，激发学习兴趣和创造性思维

为突出重点、突破难点，使学生真正达到本节课设定的教学目标，在例题变式探究过程中，我巧妙运用多媒体进行动画演示，让学生从几何画板的动画演示中，体会知识的产生、发展变化的过程，为学生创设了提出问题、解决问题的探究情境。诱导学生进行自主探索、大胆猜测、合作交流等数学活动，鼓励他们发表自己的见解，同时，为学生探究、发现其中的数学规律营造了良好的氛围，并激发他们的创新思维。

依托变式，启迪思维

数学教学应该注重培养学生自主学习的意识和习惯，注重学生的个体差异，灵活运用多种教学策略，引导学生在实践中学会学习，让学生在探求中运用已发现的规律试一试，让学生在问题探讨中各抒已见、开展讨论，对学生中出现的一些有创见的解法及时加以肯定，整个过程，让学生充当“演员”，这样的过程，是思想自由的过程。本节课中，我通过一系列的变式题组的设计，给学生创造了学习数学、解决数学问题的“阶梯”，为学生创设了一个动眼、动手、动脑的空间和交流探讨的平台。让他们始终以探索者、研究者的身份出现，学生通过自己的感知学习、感受学习，最终达到感悟学习的目的，数学学习的能力得以质的提升，使数学课堂教学更具价值。

（责任编辑：黄佑生）