培养学生良好的数学认知结构

朱洪奎

数学这门学科是一门以逻辑思维为主的学科。学生接受数学知识必须通过范例来掌握一般原理，形成良好的结构性认识，否则知识不形成结构，也就不能进行迁移。但学科的知识结构必须转化成学生的认知结构，才能使外部逻辑变成内部逻辑，从而提高认识水平。怎样才能培养学生良好的数学认知结构呢？

1 不仅要注意局部，更要注意整体

经验表明，如果在教学中只注意局部，就会造成如下现象：学生很难通过自己的“悟化”，把握问题的整体性和规律性，并以某种简练的压缩形式纳入自己的认知结构。因此，常常表现出解题中的呆板、僵化、不灵活等特征，从而不能举一反三，触类旁通，向认知的更高水平发展。

在平常的教学中，如果学生掌握某种知识共性，那就会克服局部认识的局限性，达到全面的、本质的认识。现代教学研究表明，局部学习与整体学习有机结合起来，将会收到较好的学习效果。

例如：已知х²-3х+1=0，求х+1/х。如果只看到结果是求两数和，那么就会把х求出来再代入х+1/х求得其值。这样能够求出其值。但是非常繁杂，并且容易出错。如果能把х+1/х看成一个整体，通过对х²-3х+1=0进行变异得х-3+1/х=0，那么很快就能得到正确的结果，还能使人心情更加畅快，增加对数学的学习兴趣。

2 不仅要注意整体，更要注意过程

在教学中，如果把解题得到的某种结论性的东西，总结成一套模式，然后去套题，是不妥当的。虽然必要的总结是不可少的，但不能把某种“模式”作为解题的“万灵药方”。这样做不利于知识的掌握，也不利于促进学习思维的灵活性和创造性。因此，应该重视数学知识与应用的发生过程。这样才有利于知识间的有机联系和思维联想过程，才能有利于发展数学的认知结构。例：已知х²+2хy+2y²-4y+4=0，求х+y的值。解：(х+y)²+(y-2)²=0，х=-2，y=2，从而可求出х+y的值。启示：给定一个方程求两个未知数的值，可将方程分解成2个非负数之和。

3 不仅要注意过程，更要注意解题中的教学思想、方法，在此基础上理解达到创新

现代教学强调理解学习内容的本质特征，使新旧知识建立本质的、非人为的联系，才能灵活地运用已有知识和经验，解决问题，发现问题。

数学教学在一定程度上是以解题为中心的教学。如果孤立地处理这种问题，不注重发现问题的背景和相关知识系统与命题系统的关系，便不会收到锻炼学生思维的目的。因此，必须突出数学思想方法，在把握问题、理解问题的基础上创新，从而使知识达到一个更高的水平。只有这样，才符合新世纪的数学教育目标，提高学生的智力，发展他们的数学才能，才能使他们具有训练有素的观察能力、分析能力、抽象概括能力、推理活动能力、演算和转化的能力以及批判能力和创造能力等良好数学思维品质。

例如：顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形；顺次连接平行四边形的四边中点得到的四边形是菱形；再将平行四边形特殊化进行，顺次连接菱形四边形四边中点得到的四边形是矩形；顺次连接矩形四边形四边中点得到的四边形是菱形。

从上面的例子一般化、特殊化、类比、推广的丰富联想中可以看出，引导学生掌握数学的思想方法，对发展学生的创造性思维具有重要的意义，同时也使学生的知识的认识水平飞跃上了一个新的台阶。

4 数学是一门自然科学，应符合现代社会需要，才能使学生对数学知识达到应用要求，才能使知识结构更加实用化

数学的应用性决定了学习的内容必须是“有用”的。没有用的数学，即使人人都能够接受，也不能使知识结构良性化。随着计算机技术的发展，数学的应用会更加广泛。因此，在数学中选择内容时，要考虑现代社会各个领域所必需的、有用的数学。这也是大众数学追求的理念之一——人人学习有用的数学。这就意味着数学教育让学生学习的数学应该既是社会所必需的，又是个体发展所必需的；既对学生走向社会适应未来生活有帮助，又对学生的智力训练有价值。但究竟何为“必需、有用”，则是一个价值判断的过程。

数学是促进学生思维发展的重要途径。作为一个公民，掌握一定的数学知识和技术是必须的，数学已经成为公民素质的一个重要组成部分。也可以说不具备一定的数学知识和技能，就不能成为合格的公民，不能很好地适应社会发展对人的素质需求。特别是科学技术飞速发展的今天，有更多的领域需要数学知识和技能，离开数学，人们几乎寸步难行。正因为这样，在选择教学内容时，应更加重视学生数学素养的培养和终身学习的条件。比如，通过适当运算把实际问题归结为数学问题，懂得多种解决问题的方法，能和他人合作解决问题，相信数学的价值与用途，掌握猜测与推理的手段和方法，会进行探索、创新等，以更好地适应未来社会的发展。

5 良好的数学知识结构，还体现在交流上

一个人的智慧是有限的，随着知识的迅速膨胀，时代的发展，通过一个人的力量就深刻认识数学的本质及特征已经变得不可能了。只有通过交流才能发展和深化学生对数学的理解。因为解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达，可使学生加深对要领和原理的理解。交流可以有助于强化教学和思维，有效地组织思维活动。同时通过向教师和同伴表达数学想法，并倾听他人的教学表达，可以拓宽和丰富自己的数学知识。不同数学表达，可以使学生体会到教学语言的优越性。数学的作用不仅表现在运用数学解决问题，同时也是人们进行交流，表达自己对某些问题认识的工具。应当在学习的过程中给学生交流的机会，提供具体的情境让学生去表达、倾听，提出自己的想法。通过交流使学生的数学知识结构更加流畅。

总之，培养良好的数学知识结构，既要注重它内部的发展规律，又要关注它对社会具有的服务功能。这样才能使数学知识结构形成有序、有为的循环，才能使数学具有强大的生命力，推动人类社会向更高文明前进。