拉卡托斯数学哲学观述评

邓杨杨

摘要：拉卡托斯是当代著名的数学哲学家。他的数学哲学思想主要是提出拟经验主义的数学观。拟经验主义数学观主要包括两方面内容：数学的拟经验论和证明分析法的数学方法论。他在数学哲学方面的成就为数学基础研究失败后的数学哲学研究开辟了一个新的方向，宣告了一个崭新的数学时代的来临。

关键词：拉卡托斯 拟经验的数学观 证明分析法

一、 拟经验主义数学哲学观

拉卡托斯的数学哲学思想通常被称为“拟经验的数学观”，它包括相互联系的两个方面的内容：数学的拟经验论和证明分析法的数学方法论。拉卡托斯这一理论的建立，一方面体现了对当时科学哲学尤其是波普尔证伪主义科学哲学理论的批判性继承，另一方面也为其后来建立自己的科学哲学理论……“精致证伪主义……科学研究纲领方法论”构筑了理论框架。

1. 拟经验的数学观

长期以来，数学一直被认为永恒真理的积累。在这一领域，数学知识先验论一直占据者主导地位。然而，随着数学的发展和新问题的不断出现，这种认识逐渐发生了动摇，在这场革命中，曾经先后出现三次危机。虽然逻辑主义、直觉主义、和形式主义的数学家们就数学基础问题进行了大量研究，妄图为数学建立一个一劳永逸的可靠的基础，但是这三的纲领都相继失败了。在这样的背景下，拉卡托斯提出了关于数学性质的新见解……数学是拟经验的。

拉卡托斯认为欧几里德纲领和归纳主义纲领都不能避免无穷回归，而他独创的拟经验主义则可以避免这一问题。拟经验主义纲领的突出特点在于其注入的真假值是假值，且由下到上的真值传递是说明性质的而非证明性质的。这样，一个理论要么是猜测性的，要么是假的。从而，拟经验主义纲领就克服了欧几里德纲领和归纳主义纲领的弊端。它不是追求停止无穷回归，寻求确定的基础，而是提倡一种批判精华素呢，建立理论的证伪。可见，拉卡托斯的这一思想实质上是继承了波普尔的具有批判性的可错论的思想，对于制止证明和定义的无穷回归不抱任何幻想，并且接受怀疑论者对任何确实可靠的真值注入的批判。拉卡托斯认为，不管是在这些理论的顶部还是底部都不可能存在知识的基础，而无论在什么地方，都只能存在实验性的真值注入和意义注入。他进而指出，“经验理论要么是假的，要么就是猜测性的。”

我们从来就不知道，而只是推测。但是，我们能把推测变成可批判的推测，并且批判和改进这种推测。“而且改进的方法也是“我推测”。在拉卡托斯看来，“推测的无穷回归是不会有什么错误的。”他得出以下结论：（1）数学定义和证明中的无穷回归是不可能依靠逻辑理论来解决的。它是属于经验论者的理论，因此，只要没有表明他是假的，他就是具有推测性的。（2）由于“元数学”并没有解决数学无穷回归的问题，因此，“元数学”理论也不过是一种猜测而已。（3）数学基础研究的这些“不成功的例子”足以证明数学真理性的基础是不可靠的，其根本原因在于人们不了解数学的可真伪性，不了解数学是一种拟经验的理论，而拟经验的理论在于他的可猜测性和可证伪性。

2.证明分析方法的数学方法论

拉卡托斯在数学方法论上的研究成果……启发性证明分析法（即助探法）表明科学发现不仅是一个心理学的范畴，同时也需要理性分析，也就是说存在着传统意义上的“发现的逻辑”。这不仅标志着拉卡托斯拟经验数学观的进一步发展和深化，而且从后面的分析中我们还可以看到，也正是这种理性的启发性思想导致了拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”的科学哲学理论的产生。

尽管波普尔将其理论称为“科学发现的逻辑”，但他并不承认科学存在发现的逻辑。在他看来，科学哲学只不过是讨论“检验的逻辑”罢了。与此相反，拉卡托斯确信在数学中存在有一个真正的、在为逻辑实证主义及波普尔所否定的传统意义上的方法论，也就是说存在有这样一种实现数学进步的方法。应该说，拉卡托斯与波普尔的差异根源在于他们对各自证伪逻辑的不同认知。波普尔的证伪逻辑是单个理论可以证伪单个理论。只要存在一个反例就可以证伪原先的猜想。拉卡托斯则认为反例证伪的应该是相对于假说以外的辅助假说、理论前提以及观察命题而言的。拉卡托斯认为不要因为出现一个反例而否定原先的猜想，而是要在此基础上不断调整改进原来的猜想。这就是拉卡托斯“证明分析法”的基础。

拉卡托斯证明分析法的核心是借助“反例”对已给出的“证明”进行分析，并使隐蔽的前提明朗化，从而对原先的猜想进行改进，以期最终获得“可靠”的真理。证明分析法的实质就是猜想的证明与反驳。这一方法除了对数学发现本身的意义之外，它的主要目的就是要试图证明：“非形式，准经验数学的生长，靠的不是单调增加千真万确的定理的数目，靠的是运用玄想和批判、用证明和反驳的逻辑不停地改进猜想。即数学理论在微观上的增长模式是：原始的猜想（定理和引理）-----证明与反驳----改进了的猜想（定理和引理）------”从而，“数学理论并非永恒真理的积累，它也像经验科学理论一样是一种猜测”这一拟经验的数学观也就称为这一方法论研究的自然结论。因此，拉卡托斯关于数学方法论的研究与关于数学性质的研究也是统一的。

二、 对拉卡托斯数学哲学思想评价

汲取了波普尔证伪主义和可误主义中的思想养料，拉卡托斯的数学哲学通过强调数学的可错性和拟经验性，力图摧毁关于数学的绝对理念和基本立场，尤其是对逻辑主义、直觉主义和形式主义数学观的批判是极为深刻的。从这一点看，拉卡托斯的数学哲学是具有革命性和进步性意义的。拉卡托斯对数学发现的逻辑的理解和刻画也是具有独创性的，这也是拉卡托斯不同于他老师波普尔的一点。

拉卡托斯认为可错论回答了怀疑论的无穷回归的责难，将波普尔的可错论引进了数学领域，改变了关于数学的传统观念。拉卡托斯对传统基础主义认识论的批判基本上是正确的，他的数学可错论认为数学不是经验的，而可以归为准经验学科，数学是可错的，这一思想是有合理之处的。不过，我们必须看到，拉卡托斯在否认数学先验性的同时，不提数学来源于现实世界这一根本事实；而是认为数学的方法是准经验的，即大胆的思辨猜测，严厉地批判反驳等等。虽然他所提出的数学进步观与古典的数学进步观相比，的确揭示了一种新型的数学发展模式，但他实质上没有涉及到数学的最终来源这一根本问题。拉卡托斯的数学可错论，完全建立在怀疑论的无穷回归的论证基础上，在我们看来，其实大可不必。如果真正承认了数学的经验性质，承认数学来源与现实世界，由于人们对现实世界的认识总不是不完全的、近似的，这本身就可以解释数学的可错性了，没有必要借助于怀疑论的批判武器。从后现代的角度来看，与波普尔一样，拉卡托斯的数学哲学思想仍然停留在传统理性主义的领域之内。拉卡托斯因循波普尔的证伪主义所建立的“拟经验主义”数学观，过于强调数学的猜测性、可错性和可反驳性等局部特征，而忽略了数学固有的证实性质和数学知识相对于其体系固有的必然性、可靠性和连续性等特点，有失与数学知识发展以及何以可能的真实和逻辑历程。此外，拉卡托斯过分强调数学和科学的共性一面而忽略了两者之间明显的差异性，这种混淆可以从其对于拟经验数学观的定位中清楚地看出来。