浅谈数学模型

钟艳林

[摘要] 数学建模是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题,并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入分析和研究,从而从定性或定量的角度来刻画实际问题,并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

[关键词] 数学 数学建模 数学模型

众所周知,数学最引人注目的特点是它思维的抽象性、推理的严谨性和应用的广泛性。这是在数学发展的漫长的历程中逐渐形成的。它来源于人们生产和生活的需要。对其中有关的空间结构、数量关系的共性不断地抽象、升华而形成当今的数学。它的出现为我们在更深层次上认识世界提供了一条重要的途径。它的抽象性和严谨性的特点也成为我们科学地思维和组织构造知识的一个有效的手段。数学的广泛应用性则为各门学科以及人们的生产、生活和社会活动在定量方面向深层次发展奠定了基础。当前,在数学科学与其它科学技术和经济建设紧密结合变得更加需要和可能的今天,学术界在探讨数学科学的技术基础及其对经济竞争力的作用时指出:“在经济竞争中数学是不可少的,数学科学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术。”“高技术的出现把我们的社会推进到数学技术的时代”。数学的应用特征在当今就显得更加突出和重要。

数学模型是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具。所谓数学模型是指通过抽象和简化,使用数学语言对实际现象的一个近似刻划,以便人们更深刻地认识所研究的对象。数学模型也不是对现实系统的简单的模拟,它是人们用认识现实系统和解决实际问题的工具。数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。它使用数学语言精确地表达了对象的内在特征。通过数学上的演绎推理和分析求解,使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识。

由于数学模型涉及的范围极广,各领域、各学科、各行各业,时时刻刻都有数学模型,而又不能套用现成的定理和公式去建成立数学模型,所以,数学建模有很大的灵活性。数学建模是难度较大的思维活动,而所有数学建模的书基本上没有一个定理和公式,这就使建模步骤显得十分重要,它是可能建立一个较好的数学模型的基本保证。数学建模讲卫生灵活多样、多变,所以,数学建模步骤也不能强求一致,也要提倡多样化。数学建模步骤完全是为数学建模服务的,是从建模实践中逐步总结出来的。第一个数学建模都必须有明确的建模步骤。下面,我将建模的步骤总结为下面几点。

一、问题的提出

提出问题是解决问题的一半,提出问题是解决问题的关键一步,这说明提出问题的重要性。很多问题没有得到很好解决,其原因是问题没有提好。问题的提出是在面对实际的研究对象时,能够很快弄清问题的来龙去脉,抓住问题的本质,弄清问题的层次及问题的主要总分和次要部分,确定问题的己知和目标。对于我们的数学建模问题,一定要明确建模目的和要建立的模型类型,即要将哪个变量写成哪些变量的函数。问题的提出是一个将实际问题翻译成一个数学问题的过程。在分析问题时,要将问题加以分解,分成几个层次和部分。先对每个层次或部分进行研究,然后再统一进行整体研究,把握全局,将问题研究清楚。

二、量的分析

我们接触的研究对象不管多么朦胧和复杂,或是比较简单,都必然有量的表现,必然涉及到一些量,包括常量和变量。数学的一项主要任务就是研究数量之间的关系,数学建模过程首先就要搞清这些量之间的关系。量的分析这一步是先将我们三工的对象所涉及到的量尽量都找出来,然后根据建模目的和要采用方法的需要,分清哪些是主要是,哪些是次要的。舍去次要量,留下主要量,使问题得到简化,有利于模型的建立。

三、模型假设

模型假设是由问题的提出和量的分析得出来的,是由建模目的决定的,是为满足模型的建立的要求、配合建模所用的数学工具和相关知识的应用而确定的。

模型假设是建立数学模型的前提和己知条件。现实瓿题往往是复杂且杂乱无章、具体的,是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体,涉及的变量也是非常多的。这样的原型如时不对其进行抽象和简化,则认识它是困难的,也无法准确把握它的本质属性。必须将问题理想化、简单化,抓住问题的本质和主要因素,暂时不考虑次要因素。理清变量之间的关系,把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来,简化那些非本质的因素,使之摆脱原型的具体复杂形态,形成建模有用的信息资源和前提条件。

四、模型建立

在前三步的基础上,根据所研究的对象本身的特点和内在规律,依据模型假设,利用适当的数学工具和相关领域的知识,通过联想和创造性的发挥及严密的推理,最终形成描述所研究对象的数学结构的过程。

建立数学模型要注意以下几点:

(1)首先,要建模假设的基础上进不步分析模型假设的各条款,确定各种变量所处的地位、作用和它们之间的关系,将其写成代数式的形式。

(2)在构造数学模型时究竟采用什么数学工具,要根据问题的特征、建模的目的和要求及建模人的数学特长而定。如果实际问题中的变量是确定性变量,建模时数学工具多用初等数学、微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、网络、投入产出、确定性存贮理论等。如果变量是随机性的,数学工具多用概率论、统计、随机存贮理论、排队论、对策论、决策论等。

(3)在构造数学模型时采用什么方法,要根据实际问题的性质和建模假设所给出的建模信息面定。大体上可分为机理分析法、系统辨识建模法、仿真建模法和相似类比法。

(4)根据建模的对象、目的,抓住问题的本质、简化变量之间的关系。

(5)建立模型时要有严密的数学推理。建模要有足够的精度,既要把问题本质的东西和关系反映出来,把非本质的东西去掉,同时注意要不影响反映现实的真实程度。

五、模型求解

建立数学模型是为了解决实际问题,而建模本身往往还不是我们的最终目的,还要对上述建立的数学模型进行数学上的求解,包括解方程、图解、定理证明、逻辑推理等各种数学方法,特别是计算机技术的应用,从而得到模型最终形式或建模目的所要求的结果。

六、模型检验

模型是否正确,还必须进行模型的检验。模型检验有两种方法:一是实际检验,就是回一客观实际中对模型进行检验,常常是用实验或头号题提供的信息来进行检验。对于预测模型,还要检验预测是否己经达到了精度要求,是否己经达到了预测的目的。二是逻辑检验,这一检验法主要是找出矛盾,否定模型。如果模型与事实明显不符或者通过检测出现矛盾,模型就应于否定。

一个好的数学模型不在于它使用了多么高深的数学,作为一个成功的模型,应该有较强的实际背景,最好是直接针对某个实际问题的;模型应该是经过实际检验表明是可以接受的;模型应该能够使我们对所研究的问题有进一步的了解;而且也应该是尽可能简单,以利于使用者理解和接受。

参考文献:

[1]濮定国.数学模型.东南大学出版社,1994.

[2]蔡常丰.数学模型建模分析.科学出版社,1995.

[3]王树禾.数学模型基础.中国科学技术大学出版社,1996.

[4]杨学桢.数学建模方法.河北大学出版社,2000.