多品种分组联合订货模型的另一解法

崔达开　崔宏志

摘要：在库存管理中，多品种联合订货策略既是个难题，又是一个非常有实用意义的重要课题。为了得到更满意的结果，不断有人在这方面进行探索并伴随有研究成果。文章在他们工作的基础上，运用连续变量的极值理论，给予某些量的合量近似，得到了一个新的方法。此法立论严谨，计算过程简捷，且所得结果更优。

关键词：多品种；分组联合；订货模型

中图分类号：TP311文献标识码：A

文章编号：1002-3100(2009)01-0092-04

Abstract: In inventory management, ordering tactics for multi-assortment and borh difficult and

practical. To gain abetter result, some people make a constant study of the subject. On the basis of their researches, we obtain a new method by means of extremum theory of a continuous function and a reasonable approximation. The method is simpler and more rigorous, which is superior in practice.

Key words: multi-assortment; joint group; ordering model

在实际订货中，多品种物资的分组联合定期订货是经常遇到的。如何选择一个合理简便的方法，使得总费用最小，对于仓储工作者是十分重要的。关于这类问题散见于一些书籍及文章，如[1]、[2]。本文在[1]的启发下，运用连续变量的极值理论，给出了一个计算过程简单又紧贴理论依据的方法。

1总费用的数学模型

本文的符号与术语基本与[1]相同。

C：总费用（元/年）

n：物资的品种数

T：n种物资的订货周期中，最短的订货周期（年）

xT：第j种物资的订货周期，其中x为周期系数，它取正整数，即当0＜x≤1时，x=1；当x＞1时，x按x的十分位数字四舍五入取整。x也称为x的圆整。注意：因T是n种物资订货周期中最短者，所以在x，j=1,…,n中，至少有一个为1

C：公共订货费（元/次），即每次订货时（可订多种物资）须交一次

C：第j种物资每次的订货费（元/次），它与订货量无关

C：第j种物资的年单位储存费（元/单位物资.年）

R：第j种物资的年需求速率（单位物资/年）

C：总费用的最小值

T：最佳最短周期，即总费用最小时所对应的最短周期

一年的公共订货费：

一年n种物资的订货费：

一年n种物资的储存费：CRx•T

一年总费用的数学模型是以上三项之和，即

C=C++TCRx（元/年） （1）

2数学模型的求解

我们的目的是，在 C,C,C,R, j=1,…,n已知的条件下，期望找到最佳订货周期：xT, j=1,…,n及总费用的最小值：C。

根据不等式：二正数的算术中项不小于几何中项a+b≥2，等号成立a=b，由（1）得：C

≥，并且等号成立的充要条件是

T= （2）

亦即，对任给定的一组周期系数x，j=1,…,n，只有（2）成立时C才能取到最小，此值称为C的相对最小值，以记之，即

= （3）

从而有：C=minC=min。

根据问题的实际意义，C及是存在最小值的。不妨令m=x，j=1,…,n（其中至少有一个为1）。 （）

使得C取到最小，即

C= （4）

此时最佳最短周期：T=（5）

称（）为最佳周期系数；此时最佳订货周期：mT,j=1,…,n。

以下的目标是将（）求出。这里将m, j=1,…,n求出，并非指（4）的精确解。事实上，虽然（4）的解存在，但在一般条件下，要给出解的精确表示并非易事。本文给出的解，是指在已知条件下，比较起来最优的解。

为此先作两个函数：k=1,…,n,

x=，x＞0（6）

x=，x＞0

对两个函数的差进行估计：x-x=x-x，x≥，又 x-x≤由微分中值定理，x-x≤'，介于x与x之间。

当上式右边很小时，两个函数的差就很小，所以x的最小值点（取正整数的），视为x的最小值点取圆整是合理的。

下面求x的最小值点。为此先求x的驻点。为简便计，由（6），将函数x写成：x

=，其中A,B是（6）中的相应常数。

= （7）

令 =0，得到唯一驻点：

x====

注意到（5），在相差微小的情形下，上式分母以T代替，从而有

x=，k=1,…,n （8）

由（7），导数在该驻点左右两侧异号，且由负变正，所以（8）是极小值点，又由唯一性，从而（8）是x的最小值点。

对（8）取圆整：x=应为函数x的最小值点。注意到（4），明显地C是函数x的最小值，所以x=m，即

m=，k=1,…,n （9）

进而

=，j,k=1,…,n（10）

对于正数a,b，-=+-其中,,的绝对值均小于1或不超过。

令函数fx,y,z=+x-，由多元函数的微分法，+-=f,,-f0,0,0△f ≈df =-

+，当此式绝对值很小时，用代替是合理的。从而再结合（10）

==，j,k=1,…,n

记a=，j=1,…,n。所以上式为=，即

m=m，j,k=1,…,n （11）

再由最佳周期系数，m,j=1,…,n。至少有一为1，若m=1，将（11）记为

m=，j=1,…,n（12）

从而对k=1,…,n。由（12）得到n组值mj=1,…,n ，将此n组值分别代入（3），即得到n个相对最小值：

=，k=1,…,n （13）

我们最终欲求的总费用最小值：

C=min：k=1,…,n（14）

如，min：k=1,…,n=，那么，最小费用：C=。

最佳周期系数：

m=m，j=1,…,n（此时m=1） （15）

由（5）得最佳最短周期：T；

此时最佳订货周期： mT,j=1,…,n （16）

3应用举例

将[1]例中的C=23改为，13其余均不动。

C=100。

由此表及（13）得到6个相对最小值：=18 000.69，=17 895.29，=17 891.46，=18 139.90，=18 139.90，=18 645.32。再由（14）、（15）、（16）得：

总费用最小值：C=min: k=1,…,6==17 891.46（元/年）；

最佳最短周期：T=0.09385（年）=34（天）；

最佳周期系数：m=1，m=2，m=1，m=2，m=3，m=5。

它们的分组联合订货方案为：1、3品种物资为第一组，其最佳订货周期为T=34（天）；同样，2、4品种为第二组，最佳订货周期为2T=68（天）；5品种为第三组，最佳订货周期为3T=102（天）；6品种为第四组，其最佳订货周期为5T=170（天）。

各种物资每次的订货量：p=RmT（单位物资/次），j=1,…,6。它们分别为：p=141，p=375，p=47，p

=188，p=169，p=141。

本例如采用[1]的方法，其结果为：C==17 895.29（元/年）。用本文方法计算[1]中的例，与用[1]的方法计算，具有相同的结果。

参考文献：

[1] 马谦杰. 一种多品种定期订货策略[J]. 物流技术，2000(5):19-21.

[2] 曹喜望. 管理科学中的数学模型[M]. 北京：北京大学出版社，2006:172-198.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。