Ｓ波段耦合腔行波管非线性注－波互作用方程组的数值解

谢荣祥　王　彬　谢文楷

摘 要： 推导了考虑相对论效应的一维非线性注－波互作用自洽工作方程组。借鉴田炳耕的圆盘模型推导空间电荷场。对空间电荷场表达式提出简化假设并使其归一化，该假设将大大节省考虑空间电荷场时的计算时间。编写计算机程序对注－波互作用自洽工作方程组进行了数值求解，利用该程序分析了空间电荷力对注－波互作用的影响，得出S波段耦合腔行波管的效率，增益和瞬时带宽。计算结果表明：在2.87~3.35 GHz频带范围内效率达到14%以上，增益大于18.5 dB，瞬时带宽达到15%，结果达到设计要求。

关键词：耦合腔行波管；空间电荷场；非线性注－波互作用；S波段；数值模拟

中图分类号：TN128 文献标识码：B 文章编号：1004－373X(2009)04－131－03

Numerical Simulation of Nonlinear Beam－wave Interaction Equations

in S－band Coupled－cavity TWT

XIE Rongxiang,WANG Bin,XIE Wenkai

(College of Physical Electronics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu,610054,China)

Abstract：The one dimensional nonlinear beam－wave interaction self－consistent equations which take into account the effect of theory of relativity are obtained.The space－charge field is analyzed using the theory of Tian BingGeng′s disc model.A method of simplifying and normalized the equation of space－charge field is proposed,it could save large of computation time when taking into consideration of space－charge field.A simulation program has been compiled to solute the nonlinear beam－wave interaction self－consistent equations by numerical method,and the impact of space－charge field is analysed,some characteristics of S－band coupled－cavity TWT such as the efficiency,gain,instant bandwidth are obtained.The results show that frequency from 2.87~3.35 GHz,the efficiency can reach 14%,the gain can be more than 18.5 dB,and instant bandwidth can reach 15%.It can satisfy design precision requirement.

Keywords：coupled cavity TWT;space－charge field;nonlinear beam－wave interaction;S－band;numerical simulation

耦合腔行波管具有工作带宽适中，高功率，高效率，高增益和良好的散热能力的特性，因此被广泛地应用于卫星通信、雷达、遥感遥测等领域。目前在研制行波管时普遍采用三维PIC粒子模拟软件指导设计，国内外不少文献都有相关报道［1－4］。在此采用模式展开法建立了考虑相对论效应时耦合腔行波管一维非线性注－波互作用工作方程组，采用田炳耕的圆盘模型计算了空间电荷场，并对互作用工作方程组进行数值求解，分析一个工作在S波段的休斯结构耦合腔行波管的一些重要的非线性特性如效率、增益、带宽。讨论了空间电荷场对注－波互作用的影响。

1 基本方程

1.1 激发方程

令第n次本征模式轴向电场为：

Enz=E0nzφn (r⊥)e-Γ nz，E-nz=E0nzφn(r⊥)eΓ nz

可得扰动电子注激励的电场为［5－7］：

Ez=12∑nKnβ2nφn(r⊥)Φn∫z2z1i(z′) e－Γn|z－z′|dz′－

Ψ(r⊥)i(z)jωε0s

式中:定义Kn=|E0nz|2Φ2n2Pnβ2n为n次谐波的耦合阻抗；Ψ(r⊥)为电子注横向分布函数Φn=1S雜pΨ(r⊥)φ(x,y)ds。所有本征模中只有个别模式与电子注同步，且除了电子流i(z)激发的同步波之外，还有输入的“冷波”，即E0e－Γ0z，则具有外加激励源E0e－Γ0zУ耐步场为：

Ecz=E0e－Γ0z+12K0β20e－Γ0z∫z0i(z′)eΓ0z′ dz′+

12K0β20eΓ0z∫lzi(z′)e－Γ0z′ dz′（1）

式中：K0，Γ0，β0分别为该同步模式的耦合阻抗、传播常数、相位常数。式（1）两边同时对z求导2次得到熟知的激发方程：

d2Eczdz2=Γ20Ecz+β20Γ0K0i(z)（2）

1.2 运动方程

相对论下电子的运动方程为：

d（γv）dt=em(E+v×B)=emEz（3）

能量守恒方程为：

c2dγdt=emv•Ez（4）

式（4）代入式（3）可得一维电子运动方程：

mγdvdt=e(1－v2c2)Ez（5）

又由：

dvdt=d2zdt2=ddt(1dt/dz)=dzdt•ddz(1dt/dz)=

dzdt•－d2t/dz2(dt/dz)2=－d2t/dz2(dt/dz)3

所以式（5）可写为：

d2tdz2=－(dtdz)3emγ－3Ez(6)

其中：Ez=Ecz（线路场）+Esz（空间电荷场）；γ=(1－v2/c2)－1/2为相对论因子，c为真空中的光速,v为电子速度。

1.3 电子流复振幅方程

电子流是时间的非简谐周期函数，含有高次谐波，用傅氏分析。

i(z,t)=i0+Re∑∞n=1in(z)ejnωt

in (z) = 1π∫2π0i(z,t)e-jnωtd(ωt)(7)

2 慢变系统中归一化

上述是在实验室坐标系下得到的迅变方程，为了处理问题的方便和计算结果普遍性强，通常将其归一化到电子坐标系内，获得慢变方程。

为了表述方便，先引入迅变坐标系的归一化量：归一化距离为Е=ω/v0z=βez；归一化时间为φ=ωt=2πt/T，归一化场为f=|e|E/mv0ω。则慢变系统中的归一化：归一化轴向距离为θ=Cξ=Cβez；归一化相位Φe=φ－ξ；归一化场幅值为Fcn(θ)=（eE/C2mv0ω）ejnθ；归一化电流幅值为I=i/I0ejθC。

激发方程变为：

C1d2Fcn(θ)dθ2－2jndFcn(θ)dθ+n2rn(2+C1rn)Fcn(θ)=

2jC3nC31n3(1+C1rn)(1+C1bn)2In(θ) （8）

运动方程变为：

d2Φe(θ,φ0)dθ2=－（1+C1dΦe(θ,φ0)dθ）3γ－3

Re［∑Fcn(θ)ejΦe+Fsze－jΦe］（9）

电子流复振幅方程为：

In(θ)=1π∫2π0e－jnΦe(θ,φ0) dφ0（10）

式（8）~（10）组成了行波管大信号注－波互作用基本工作方程组。其中C3n=I0Kcn/4V0为n次谐波增益参量，bn=（v0－vpn）/C1vpn非同步参量，dn=α0n/βeCn为衰减常数，rn=bn－idn。

3 空间电荷场的计算

由文献［8］可知z0处圆盘在zТυ才唐矫嫔细鞯悴生的平均空间电荷场为：

Esz=Q2πε0b2∑∞n=1e－μ0nba•|z－z0|b［2μ0n•J1(μ0nb/a)J1(μ0n)］2•

sgn(z－z0)（11）

其中：Q为圆盘所带电量；b 为电子注半径；a为漂移管半径，如图1所示，μ0n为零阶Bessel函数的第n个根。由此可知场是关于zУ暮数，可以表示为：

Esz=QB(|z－z0|)（12）

其中：B(|z－z0|)是以|z－z0|为变量的函数，由式（11）可以做出如图1所示曲线。

图1 函数曲线图

由图1可知，如果用近似式Esz=QB(|z－z0|)=Q2πε0b2e－2|z－z0|b代替式（11），所引起的误差很小，而计算式却大大简化了。采用该式时，所有圆盘产生的空间电荷场为Eszc=∫∞－∞ρ(z0)dz02πε0b2e－2|z－z0|bsgn(z－z0)В归一化后为：

Fsz= v0 ω2|η|(ωp ω)2∫∞-∞e-2v0 bω(1 + C1 郸礶(θ,φ0 )郸)

|Φe(θ,φ0 )-Φe(θ,φ0′)|dω0′san Φe (θ,ω0′)〗(13)

其中:Е豴为电子等离子体频率;η为电子荷质比;v0为电子注初速度。仿真中用式（13）代替式（9）中的Fsz。

4 休斯结构耦合腔

休斯型耦合腔的剖面结构为图2 （a）所示，图2（b）为其截面图，表1为设计S波段耦合腔行波管的结构参数。

图2 休斯型耦合腔的剖面结构图

表1 S波段波段休斯型慢波结构仿真尺寸

a/mmd/mmD/mm2g/mmF/mmR/mm2θ/°2h/mm 2L/mm

5.918.3525.055.7819.835.2211013.9219.83

5 仿真结果及讨论

在上述尺寸下，对2.87~3.35 GHz频率范围内的休斯结构耦合腔行波管进行了数值分析，仿真中电子注的注电压U0 =21 kV，注电流I0 =1 A，波的输入功率Pin=300 W。采用四阶龙格－库塔法［9］求解互作用方程组式（8）~（10），其结果如图3~图6所示。

图3 电子相位轨迹

图4 增益随轴向距离的变化

图3给出了在中心频率f=3.100 7 GHz时电子的相位轨迹。由图可知，电子在归一化轴向距离Z=2.4附近获得了较好的群聚，此即为最佳互作用距离。由图4可以看出该频率的波在此处获得最大增益，此后电子注离开最佳互作用区，效率降低，增益下降。

图5 效率随轴向距离的变化

图6 增益随频率的变化

图5给出了中心频率时电子注效率随轴向距离的变化曲线。图中实线为不考虑空间电荷力的情况，虚线为考虑空间电荷力的情况。由图可知，空间电荷力的作用使得饱和位置推后，增益下降，即空间电荷力起发散作用。图中效率刚开始时为负值，是因为电子刚进入互作用区时要得到部分能量，表现电子效率为负值。

图6给出考虑空间电荷场时，2.87~3.35 GHz内各频点的微波增益。由图可知，在给定电子

注注电压，注电流，和波的输入功率等参量的情况下，频带内微波增益均大于18.5 dB。

6 结 语

对S波段休斯结构耦合腔行波管非线性注－波互作用工作方程组进行了数值求解，求出考虑和不考虑空间电荷场时中心频率f=3.100 7 GHz处的效率，说明空间电荷场对互作用起散焦作用，与文献［2，10］中结论很吻合。求出工作在2.87~3.35 GHz频率范围内耦合腔行波瞬时带宽。仿真中所用管子已制作完成，实验数据对后期管子的热测试有很好的指导意义。

参 考 文 献

［1］李文君，许州，林郁正，等.S波段宽带大功率连续波耦合腔行波管三维模拟设计［J］．强激光与粒子束，2006，18(6)：965－968．

［2］徐林，杨中海，莫元龙.行波管三维非线性计算机模拟的改进［J］.强激光与粒子束，1999，11(3):342－346.

［3］雷文强，杨中海，廖平.耦合腔慢波特性及其注－波互作用的三维软件模拟［J］.强激光与粒子束，2003，15(7)：673－676．

［4］Kantrowitx F,Tammaru I.Three－dimensional Simulations of Frequency－phase Measurements of Arbitrary Coupled－cavity RF Circuit ［J］.IEEE Trans.on Electron Devices,1988，35(11)：2 018－2 026.

［5］Vaninstin L A.Waveguide Excited by the Electron Beam［J］.Journal of Technology Physics,1953(4):654－657.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。