权力的数学制衡

约翰.艾伦.保罗斯

在目前世界上的大多数国家中,政府执政的官员大部分是以投票方式产生的,如何让每一张选票发挥其应有的价值,做到让选举制度公平与合理是一个难题. 而在解决这个难题中,一个简单的数学思想就发挥了很大的作用,这就是班杰夫权力指数. 它由班杰夫·F·约翰律师在1965年提出,并以他的名字命名.

在给出班杰夫权力指数的定义前,我们再来讨论一个例子.

如果一家小公司有3个股东,假定这3个股东分别拥有公司47%,44%和9%的股份. 若想通过任何一项议案,则需要达到简单多数即51%股份所有者的同意. 很明显,虽然里面有一个股东拥有的股份是那么的不起眼,只有9%,但是所有的3个股东拥有的权力是同等的. 那是因为3人中的任意2人联合起来都可以通过一项提议.

而如果是一家有4位股东的企业,各位股东分别拥有27%、26%、25%和22%的股份. 要通过一项议案,需要简单多数的股份同意. 在前3位股东中,任何两位联合都可以通过一项措施,而最后一位股东的投票对任何结果都不重要(最后一位股东的22%加到前3位股东中的任何一位上,都不足51%,而前3位的任何联盟也都不再需要最后一位22%的支持). 这种时候,我们把最后一位股东称作“傀儡”. 这个词儿恰当地形容了既不能帮助失败方也无法阻止胜利方的投票方. 傀儡没有任何权力,其他3人拥有同等的权力.

从政治上来说,一个群体、党派或个人的班杰夫权力指数定义为:群体、党派或个人使失败联盟变成胜利联盟或使胜利联盟变成失败联盟的途径数. 在上面,我只讨论了那些拥有权力的团体分享同等权利的情形,但是实际上还有更多更复杂的情形.

比如一家公司,甲、乙、丙和丁——他们分别掌握着40%、35%、15%和10%的选票. 我们试着按一定的方法,列出所有可能出现的投票情形(比如说甲、丙、丁赞同,乙反对;乙和丁赞同,甲和丙反对;等等). 我们会发现,其中共有10种情况下,甲的表决是决定性的,共有6种情况乙是决定性的,6种情况丙是关键的,而只有2种情况中丁的表决才是决定性的. 这时我们说这些人拥有的权力指数分别为10、6、6、2. 这个指数表明,甲拥有的权力是丁的5倍之多,同时乙和丙拥有的权力同等,并且都是丁的3倍. 在这个例子中没有出现傀儡.

还有很多种方案可以保证用班杰夫权力指数衡量的群体权力,能更准确地反映它拥有选票的百分比. 例如,在纽约州的多个郡,投票系统都会根据对应的人口数量,对选票进行相应的加权,使选票能够行使相应的权力,从技术上避免有代表成为傀儡的可能.

在选举的初期,在这种情况下,每一位选民都可以选择或赞成很多自己看好的候选人. 这时“一人投一票”的原则就变成了“给每个候选人都投一票”,而此时获得最多赞成票的候选人就是赢家. 这就保证不会出现以下情况:两个自由候选人平分了自由人士的投票,而保守派的一位候选人得到所有选票的40%从而获胜.