浅谈数学语言及其作用

陈　跃

语言是人类表达思想,相互交流的工具。数学语言则是人们进行数学表达和数学交流的工具。语言不仅是思维的工具,而且是思维的产物。同时,语言又反作用于思维,使思维更健康、更活泼。语言的巧妙运用需要智慧,在语言的运用过程中也使人更富于智慧。自然语言与学科的专业语言一般都有区别。在自然语言上没有什么困难的情况下,在专业语言上可能会有困难。这种困难不一定来自语言本身,而往往来自专业。不了解数学的内容和本质,无法把握数学语言;而不掌握数学语言,也难以理解数学内容。

一、自然语言与数学语言

自然语言是具体的语言,数学语言是形式化的语言。中国人说汉语,美国人说英语,这些是自然语言;上海人说上海话,广东人说广东话,这些也是自然语言。数学语言是以自然语言为载体,由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言,是形式化的语言。

语言都是用来描述事物的。自然语言可以用来描述事物的各个方面,数学语言则主要用来描述事物的数量关系、空间形式,以及事物的结构、逻辑关系等。例如一个工厂有四种产品,要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言,就显得麻烦。但如果采用数学语言,只需写出一个4行6列的矩阵,就可以轻松的把要发货的量及地点表达出来。

二、数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言

由于数学语言往往需要依靠符号来表达,而世界各国又采用相同的数学符号,这就使得数学语言成为人类文明的共同语言。例如对于数学语言(a+b)2 =a2+2ab+b2和 sin2χ+cos2χ=1表达的意思,任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。

在20世纪70年代,美国曾经发射过一艘宇宙飞船,目的是与可能存在的“外星人”取得联系。为了让星外文明了解地球文明,这艘宇宙飞船带去了许多地球上的照片和声音;同时还带去了刻有如图所示的黄金制作的图板,这也体现了数字语言是宇宙夜文明的共同语言。

三、数学语言的特点

数学语言中有大量的符号和图形,这与自然语言有显著的区别。除此之外,即使对于数学语言中的自然语言,也有下面四个明显的特点:

1.明晰

一方面,数学语言是明确的,从不含糊的。例如“大于”与“大于等于”的涵义,是明确不同的;“存在左极限”与“存在极限”也是明确不同的。另一方面,数学语言又是有条理的,一段话的叙述中,先说哪个层次,后说哪个层次,是很有讲究的;。数学语言中还必须有“因”有“果”。“因”“果”分明,不能把“因”说成“果”,也不能把“此因”说成“彼因”。

2.严谨

这是指逻辑推理的严格和谨慎。首先,定理的叙述是严谨的。例如算术基本定理叙述为:任意一个大于1的自然数,都可以被表示为有限个素数(可以重复)的乘积,并且如果不计次序的话,表法是唯一的。在这里,“大于1”的条件不可少,少了就欠严谨;“有限个”三个字不可少,少了就欠严谨;“大于1”的条件不可少,少了就欠严谨;“(可以重复)”的注解也不可少,少了就欠严谨; “如果不计次序”的假设也不可少,少了就欠严谨。

3.简洁

数学语言要求简洁,它与自然语言不同。自然语言允许同义反复,为了描述某一事物或形容一个人,往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句。数学语言则要求用词最少、不允许同义重复。在数学表达中,当一个语句被另一些语句蕴含着的时候,它就是多余的,一定要去掉这个语句。

例如,区间[a, b],如果用自然语言描述就要说成“大于或等于a,小于或等于b的一切实数的集合。”又如,“数列{an｝收敛的充要条件是:对任意给定的εф0,总存在一个自然数N, 使得n>N和m>N时,都有Ⅰan-amⅠπε”,这是著名的柯西收敛准则。如果用一般语言描述是难以表达清楚的。

4.规范

数学语言不能有任何歧义。一个词作为一个概念被定义以后,这个定义就要随着这个词贯彻始终,不能再有任何改变。一些数学语言中常见的词语,都有其特定的涵义,长期以来形成了规范。例如,“开区间”、“闭区间”、“左开右闭的区间”表达的是三种不同的意思;再如,“包含”是用来说明两个集合之间的关系,“属于”是用来说明元素与集合之间的关系,“包含”与“属于”不能混用。

四、数学语言的作用

1.掌握数学语言是学习数学知识的基础

一方面,数学语言既是数学知识的重要组成部分,又是数学知识的载体。各种定义、定理、公式、法则和性质等无不是通过数学语言来表述的。离开了数学语言,数学知识就成了“水中月,镜中花”。另一方面,数学知识是数学语言的内涵,对数学知识的理解、掌握,实质是对数学语言的理解、掌握。

2.掌握数学语言,有助于发展逻辑思维能力

逻辑思维是思维的高级形式。在各种能力中,逻辑思维能力处于核心地位。语言是思维的物质外壳,什么样的思维依赖于什么样的语言。具体形象语言有助于具体形象思维的形成;严谨缜密、具有高度逻辑性的数学语言则是发展逻辑思维的“培养液”。

3.掌握数学语言是解决数学问题的前提

“对一个问题能清楚地说一遍,等于解决了问题的一半。”解决问题的过程是一个严密的推理和论证的过程,正确地理解题意,画出符合要求的图形,寻找已知条件,分析条件与结论之间的关系,有关知识的映像,解题判断的形成,直至解答过程的表述等,处处离不开数学语言。

4.掌握数学语言,有利于思维品质的形成

数学语言的特点决定了数学语言对思维品质的形成有重要作用。严谨、规范是培养思维的逻辑性、周密性与批判性的“良方”;明晰、简洁对培养思维的独立性与深刻性有特效。

5.掌握数学语言,能激起学习数学的兴趣

数学语言具有自己的特点,它是一种内在的美,表面显得枯燥乏味,其实却蕴藏着丰富的内涵。充分理解、掌握它,就能领略其中的微妙之处,感受其中的美的意境,从而激起学习、探究的兴趣。

6.数学语言使科学精确化

以下三段名言,就是很好的注释:

“数学进入一门科学的程度,反映了这门科学成熟的程度。”

“世界这本大书,是用数学的语言写成的。”

“要是没有数学语言,宇宙几乎是不可描述的!”

事实上,牛顿用数学语言展示了他的三大定律;爱恩斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论;数学家用群论的语言解决了晶体的分类;经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。物理中的布朗运动成为概率论中的语言,生物中的遗传基因DNA原来是数学中的双螺旋线,医学上已经出现“数字化人体”的概念。现在,任何一个科学工作者要使自己的工作精确化,都必须借助于数学语言。