深入研究教材 教好平面图形

李树臣

深入研究教材 教好平面图形(1)

(1)本文系山东省教育科学“十一五”规划2008年度课题——青岛•泰山版《初中数学教科书》实践与研究（编号：2008GG212）的系列研究成果之一.

青岛出版社和泰山出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》（七—九年级1—6册）（以下简称“新教材”），已于2006年全部通过全国中小学教材审查委员会的审查，目前已在多个地市大面积使用. 新教材采用代数与几何混编的方式，共分六册34章. 我们在本文就新教材中关于《平面图形的认识》一章的教学研究，谈谈自己的理解与思考，以帮助实验教师更好的把握新教材，用好新教材.

笔者认为《平面图形的认识》安排在七年级下学期最后一章是比较恰当的. 首先学生具备了学习本章内容的基础. 学生在第二学段，已经初步学习了三角形、特殊的四边形、圆等平面图形的简单知识，从七年级（上）第1章开始认识平面图形，较系统地学习了线段、直线、射线、角、平行线的有关知识. 本章就是在这样的认知基础上进行设计安排的，可以说本章内容是对以前所学知识的发展和升华. 其次，本章内容又是后面将要学习内容的基础. 我们知道三角形、四边形是第三学段“空间与图形”领域主要研究的平面图形. 是今后进一步学习、研究图形的对称、勾股定理、图形的全等与相似、图形的平移和旋转、图形的证明、平行四边形及空间图形等后继内容的基础. 而圆的初步知识是学习尺规作图以及今后各章相关内容所必需的基础内容. 通过本章的学习，不仅可以丰富和发展学生对平面图形的认识，而且有利于培养学生的空间观念，提高学生分析图形和解决有关图形问题的能力.

1 新教材分析

11 内容分析

111 本章的知识结构

112 本章涉及的数学思想方法

本章以认识平面图形的概念和探索一些最基本最简单的性质为素材，渗透了几何建模、分类、转化、集合、图形变换等重要的思想方法.

①分类思想

本章明显体现分类思想的内容是对三角形进行的分类. 新教材指出，对三角形的分类有两种分法：既可以按角进行也可以按边进行. 三角形按角可分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 按边分为两类：等腰三角形和三条边都不相等的三角形. 即：

另外，在解答有关等腰三角形的问题时，常常用到分类的思想.

再如，在研究平面内点和圆的位置关系时，也是分三种情况进行研究的：点在圆内、点在圆上、点在圆外.

②转化的思想

本章中，在研究多边形的内角和时，是通过添加辅助线把多边形分割成三角形，利用三角形的内角和性质推出的.

③数学建模意识

新教材在对圆的初步认识中，关于圆的概念是用描述性的语言给出的，学生在经历圆的概念的形成过程中，可以发展学生的数学建模意识.

④集合的思想

对于圆的概念除可以用上面的描述性的方式给出外，还可以用集合的语言给出. 类似地，圆的内部和外部也都是用这种语言给出的.

1．1．3 本章的重点、难点和关键

本章的重点有四：①三角形、多边形、圆的有关概念；②三角形的三边关系、内外角关系，三角形按角分类；③多边形的内角和与外角和公式，并能运用这些公式解决问题；④多边形密铺的条件，能用多边形设计密铺图形.

本章的难点有三：①三角形的三边之间、外角和不相邻内角的不等关系；②多边形的密铺；③使用较规范的语言表述探究的过程与结论，尺规作图的步骤.

克服难点的关键有三：一是引导学生经历数学概念的形成过程及有关性质的探究过程；二是注意将数学语言与叙述说理相结合；三是注意图形语言和符号语言之间的相互转化.

1．1．4 课时安排

本章内容安排在七年级下学期学习，本册新教材共7章，其中“平面图形的认识”是第7章（全学年通排为第15章），包含5节内容，计划用13课时完成，分别是：

15.1三角形，4课时

15.2多边形，2课时

15.3平面图形的密铺，2课时

15.4圆的初步认识，2课时

15.5用直尺和圆规作图，1课时

回顾与总结，2课时.

1．2 教学目标的设置

教育部《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面做出了进一步的阐述. 它在刻画数学知识技能时使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等目标性动词，还使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性动词. 我们在编写新教材时，严格遵循《标准》的上述理念，对目标的要求不只停留在知识技能方面，而且还特别注重了让学生参入数学活动过程的情境设计. 注重了数学应用意识的形成和培养，将教学目标的实现有机的融入到精心设计的情境中、过程中和应用中. 具体说来是从以下四个方面来落实课程目标的：

知识与技能：（1）了解三角形的有关概念，会画任意三角形的角平分线、中线和高；（2）了解多边形的有关概念，了解多边形的内角和与外角和公式；（3）了解平面图形的密铺，并能进行简单的密铺设计；（4）理解圆及有关概念；（5）掌握尺规作图技能，能完成两种基本作图，会利用基本作图作三角形.

数学思考：（1）经历三角形、多边形及圆的有关概念与性质的形成过程，发展抽象思维能力；（2）在对密铺条件的探索中，形成初步的创新意识；（3）经历简单尺规作图的操作过程，体会图形的变换，发展形象思维能力.

解决问题：（1）结合具体情境发现并形成三角形、多边形及圆的有关概念；（2）尝试从不同角度分析和理解概念，明确有关概念间的联系与区别；（3）通过探索平面图形的密铺条件，尝试从不同角度分析问题，体现与他人合作的重要性；（4）正确地完成两种基本作图，能解释其作法的合理性.

情感与态度：（1）对于周围形如三角形、四边形、圆形的物体和图形产生好奇心，能够积极参与实验、发现、探究、问题解决等数学活动；（2）在平面图形密铺的实际应用中，欣赏数学中的美，体会数学是解决实际问题的重要工具；（3）在独立思考的基础上，积极、主动参与有关概念的形成及其应用过程的讨论，敢于发表自己的见解，尊重他人的见解，体验成功的乐趣.

从以上的描述可以看出，上述目标涵盖了数学课程目标的各个纬度，体现了新课程的价值追求. 教师们在贯彻教学要求时，必须准确地理解并把握上述有关动词的含义. 把握准它们的含义有两层意思：一是不能过低的要求学生，这样就达不到《标准》的要求，完不成教学的任务，造成对后续学习缺乏“奠基”的知识，必然导致学生的数学基础打不好；二是不能过高的要求学生，这样会增加学生的学习负担，影响其身心健康，久而久之将会抹杀他们学习数学的信心，同样也达不到提高学生数学素养的目的. 前者就是人们通常说的“教学要求”过低，后者便是“教学要求”过高，出现这两种现象的原因就是由于教师把握不准上述一些动词的含义所致. 多年的教书实践告诉我们，如果教师的教学行为不能很好的体现《标准》的理念，必然会促使某些学生“掉队”，导致“学困生”队伍的增大，影响教育教学质量的提高，从这个意义上讲教师是造成有些学生学不好数学的主要原因.

1．3 新教材的编写特点

新教材为了落实上述目标，以《标准》为依据，呈现出“问题情境—建立模型—解释、应用和拓展”的编排体系，就本章而言有以下突出特点：

1．3．1 以古老的金字塔为背景，点明本章的主要内容和所研究的主要问题

为了使学生经历从具体情境中抽象出三角形，从而建立几何模型的过程，体验到三角形与现实生活的密切关系，全章以埃及金字塔为背景，来激发学生的学习责任感、使命感，调动学生思考问题的积极性，引出本章的主要内容和所要研究的主要问题. 同时具有传奇、神秘特色的金字塔也能激发起学生对几何图形进行探究的兴趣和欲望，增强学生努力学好数学的决心.

1．3．2 创设问题情境，以问题（串）引导学生通过探究发现有关的概念与性质

关于平面图形的有关概念及性质，新教材都是通过创设一定的富有实际意义的问题情境，让学生在探索活动中，通过交流发现得到的. 例如，在给出三角形的概念之前，新教材给出了三副照片：塔吊的支架、彩旗和船帆. 通过让学生观察这些实例，使学生经历从实际生活中抽象出三角形的特点的过程，引导学生用自己的语言概括出三角形的本质特点，以培养学生的抽象概括能力.

再如，15.1在得到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一性质之前，新教材给出了下面四个问题让学生进行思考：

①已知三角形两个角的度数，怎样求第三个角的度数？

②在直角三角形中，两个锐角的和等于多少度？

③三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和有什么关系？为什么？

④三角形的一个外角与它不相邻的一个内角有什么关系？能说明你的结论吗？

学生由于已经有了“三角形三个内角的和等于180°”的知识基础，就能依次思考上面的“问题串”，在得到对这些“问题串”的答案后，就能由特殊得到一般的结论. 这样安排能引导学生进行思考与交流，结论的获得是在同学们自己思考的基础上归纳出来的，在归纳的过程中还训练了学生有条理的语言表达能力，比直接告诉学生这一性质要好得多，符合《标准》的理念和要求.

1．3．3 为学生的个性发展提供了大量的探索与交流的空间

为了改变学生的学习方式，促进学生的个性发展，给学生留出足够的探索与交流空间，本章教材共安排了四个“实验与探究”栏目、五个“交流与发现”栏目和三个“挑战自我”栏目，这些栏目都是以问题或问题串的形式给出，具有启发性，引导学生进行观察、实验、操作、思考、探索、交流、归纳，从而发现有关的结论. 这些栏目提出的问题或问题串能促使学生经历知识的形成过程，探索和理解有关的内容，满足了学生多样化的学习需要，对于学生创新个性的形成具有重要的意义.

1．3．4 呈现形式丰富多彩

新教材按照《标准》的要求，采取了丰富多彩、独具一格的呈现形式，就本章而言，除上面的1.3.3已经谈到的“实验与探究”、“交流与发现”和“挑战自我”等栏目外，还主要表现在：

①章头图是古老的埃及金字塔的照片，颜色呈“金色”，侧面形状为三角形，并在醒目的位置显示出该章的内容提要和引出本章学习内容的“情境导航”栏目. 让我们能从总体上感知本章将要学习的主要内容.

②设置了“广角镜”、“智趣园”等栏目. 本章教材共有四个“广角镜”栏目和1个“智趣园”栏目，这些栏目图文并茂，向学生介绍了一些与本章内容有关的知识，拓宽了学生的视野，调动了他们学习的积极性.

例如，在15.5安排的“广角镜”栏目就尺规作图的基本知识作了简单的介绍，这样有助于学生学习本节的知识.

③“小亮”、“小莹”和“小博士”三个形象的出现使新教材更具有趣味性和可读性，他们分别代表学生和教师，在“正文”不宜介绍或不好处理的时候，他们的及时出现弥补了这一处理技术上的不足，从而实现了人书对话，促进学生与学生、学生与老师之间的有效交流.

例如，在15.4例2的第（2）问求出两个同心圆的半径之差约为0.159米后，小亮说“两圆之间能伸进一个人的拳头”. 这样使得新教材鲜活生动，富有可读性，适合学生的心理特点.

1．3．5 注重现代信息技术与数学教学内容的整合

以计算机、多媒体和网络技术为标志的现代信息技术在当代的迅猛发展，对传统的教学模式形成了巨大的冲击，獵AI的出现引发了教育技术的深刻变革，我们的新教材为适应这种形势，非常重视现代信息技术在数学教学中的运用.

例如，在第169页安排的“广角镜”栏目就向同学们介绍了用计算机画几何图形的方法. 主要介绍了三种常见几何图形（画一条线段等于已知线段、画一个角等于已知角、已知两角和它们的夹边，画三角形）的画法.

类似这样的问题，用计算机处理可以扩大学生的视野，增强学生的学习兴趣，感悟现代技术的“威力”，唤起他们自觉使用现代技术的意识.

2 学情和学法简析

2．1 学生在学习中常见的认识误区和思维障碍

2．1．1 对有关的概念、性质理解不渗透

本章的概念、性质比较多，同学们经常出现对有些概念理解不透彻，不能把握其本质，从而导致错误的情形. 如，由于不能正确理解三角形的外角的定义“三角形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角”的本质属性，导致不能正确的辨认三角形的外角.

2．1．2 不能正确解答有关等腰三角形的问题

在解答有关等腰三角形的问题时，常出现考虑不周或顾此失彼的错误. 如，在解答问题“等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为50°，求它的底角”时，应考虑等腰三角形一腰上高在三角形内部和外部两种情况，从而得到所求底角为70°或20°两个答案. 而同学们解答类似这样的问题时，经常是只能得到一个答案，这就出现漏解的现象.

2．1．3 不能正确叙述尺规作图的方法

由于在学习本章内容之前，学生都是运用画图工具画图，所以对于用尺规作图来说，学生一时不适应，常出现会作图，但不会说（写）作法的现象.

2．2 学法指导

2．2．1 展示概念的形成过程

平面图形的有关概念都有形成的过程. 在引导学生学习有关的概念时，一定要结合具体的图形，抓住图形的特点进行分析，让学生仔细观察、思考这些图形的本质特征，在此基础上，归纳出概念的本质属性.

2．2．2 对于重点内容，鼓励学生自主探究

教师们在教授本章的重点内容时，应努力体现《标准》的理念，给学生留有足够的用于探索与交流的空间. 对于重点内容，要精心设计教学情境，引导学生进行观察、思考、探究和相互交流，在相互交流的基础上，得到有关结论. 本章的重点内容之一是多边形的内角和公式，对于这个公式，可通过填写表格中的数据，引导学生探索有关的规律，提出猜想，然后加以一般性的说理，使学生经历发现规律的全过程.

2．2．3 在学生独立思考的基础上进行合作交流

例如，在用集合语言给出圆的概念后，引导学生类比圆的叙述方式，用集合语言描述圆的外部和内部时，可鼓励学生自己独立思考与描述，然后进行相互交流，在相互交流的过程中，完成对圆的外部和内部的认识，这样既掌握了这两个概念，又提高了学生自己的语言表达力.

2．2．4 注重知识的应用

多边形的密铺有着广泛的理解和应用，在学生熟练掌握了密铺的有关知识的基础上，引导学生解答一些与生活、生产有关的实际问题，这样安排一方面强化了对密铺概念的应用，形成了用所学知识解决实际问题的意识；另一方面，可以把密铺的技能训练与实际问题的解决融为一体，达到在解决实际问题的过程中，巩固和提高学生进行密铺设计的能力，同时还对学生进行了数学美的熏陶教育.

3 教学建议

3．1 注重过程教学

新课程强调过程，特别强调学生探索知识的经历和对获得新知识的体验. 本章中三角形、多边形和圆等有关的概念可以使用“发生定义”的定义方式来揭示其形成过程. 教学中，我们一定要引导学生经历它们的形成过程、抽象过程，从而把握其本质，初步形成几何建模的意识.

案例1 圆的定义的形成过程.

圆是生活中常见的几何图形，教学中，教师应利用实物或课件，演示圆的生成过程，在此基础上，从动和静两个方面来揭示圆的本质，从而形成圆的两种定义：

（1）“动”的形成过程

如图1，在平面内线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆. 圆的形成过程由“线段…旋转一周，另一个端点所描出”给出.

（2）“静”的形成过程

引导学生参与新教材第162页“实验与探究”中所设计的一系列数学活动，发现平面内一点与圆的位置关系，经历圆的集合定义的形成过程.

3．2 注重变式训练

本章内的概念较多，为使学生更好的把握概念的内涵和外延，可通过变式训练，给出一些非本质性的、容易混淆的概念，让学生自己去识别、辨认，从而加深对所学概念理解.

案例2 关于三角形的三条主要线段的理解.

学生在刚学习三角形的三条主要线段（中线、高线、角平分线）时，常出现错误. 为帮助学生更好的理解这些概念，教学中可引导学生思考下面的问题：

（1）如图2（1），已知∠BAD=∠CAD，射线AD是△ABC的角平分线吗？

（2）如图2（2），已知点D为BC边的中点，线段AE为△ABC的中线吗？

（3）如图2（3），已知在△ABC中，AD⊥BC于D，线段AD是△ABC的高吗？（学生思考、交流、讨论）

3．3 重视数学思想方法的渗透和应用

在本章主要涉及四种数学思想方法，其中最为突出的是分类讨论和转化的思想. 教学中要重视对学生进行数学思想方法的训练. 这样处理既有助于引导学生关注数学知识之间的联系，更有助于学生数学素质的提高.

案例3 已知等腰三角形的周长为21厘米，如果它的一边长为8厘米，求其它两边的长.

在解答这个问题时，就要用到分类讨论的思想，对于给定的长为8厘米的边可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，因此必须分两种情况进行讨论.

案例4 探索四边形的内角和.

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在引导学生探索四边形的内角和时，添加辅助线把四边形分割成三角形的过程，体现了转化的思想. 教学时要把重点放在引导学生思考如何就能把四边形的内角和的问题转化为三角形的内角和的问题. 同时引导学生通过思考，发现添加辅助线的方法有多种，如图3.

3．4 重视尺规作图的教学，培养学生画图、作图基本技能的形成

在学习本章内容之前，学生画图要运用画图工具，即使用刻度尺、三角尺和量角器等. 本章第15.5节介绍“尺规作图”的基本过程和常用的两种基本作图，这里的“尺”是指没有刻度的直尺，“规”指圆规. 教学中，教师应先向同学们介绍尺规作图的悠久历史、尺规作图在数学发展中的意义及与尺规作图有关的历史故事，以进一步激发学生的学习兴趣. 本节课的例1、例2是利用尺规完成的两种基本作图，教学时，教师可一边示范作图，一边叙述作图语句，作后总结作图的步骤. 对于这两个例题，要把重点放在作图方法的叙述上，在教师示范作图后，要引导学生自己独立完成它们，启发学生把自己的语言与新教材中的规范语言进行对比，体会数学语言的准确性和简洁性，逐步使自己的语言规范化，进而掌握尺规作图的基本技能.

案例5 已知三边作三角形.

学生学会了利用尺规作两种基本作图后，要引导他们利用这两种基本作图解决一些简单的作图问题. 对于已知三边作三角形，通过分析让学生知道本例实质上就是利用尺规作三条线段，从而达到用基本图形解决这一作图问题的目的.

3．5 尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需求

《标准》特别强调要改变学习方式，鼓励学生自主发展. 为落实这一要求，教师在问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等环节上，要尽可能的让所有的学生都能主动积极的参与，提出各自的解决策略，并引导学生在与他人的合作交流中，提高自己的思维水平，使自己的个性得以尊重和发展，只有这样才能为学生今后的创新发展打好基础.

案例6 某学校欲在一空闲处建立一个凉亭子，请同学们设计一个密铺该凉亭子地面的方案.

对于这个问题，教师应组织学生去观察凉亭子地面的大小，鼓励学生思考、探索、交流，设计出充满个性的图案. 并在小组和全班内让学生交流自己的设计作品，在此基础上，筛选出设计方案来.

以上是笔者通过研究新教材和《标准》，对“平面图形的认识”一章所作的教学研究，希望能为实验教师的教学提供一点帮助. 同时，对于不妥之处也敬请读者批评指正，以便创造性地使用新教材，并为以后该教材的重版积累资料. 共同为学生的发展、为我国数学教材的建设做出自己应有的贡献. プ髡呒蚪榧本刊2008年第4期（总第215期第4页）.