一道联考题的变式与拓广

唐长林

笔者在研读湖北省2008届高三第二次联考理科第20题时，顿悟出与之相关的一组变式与拓广，为方便讨论，现给出原题：

如图1，线段AB过y轴上一点N(0,m),AB所在直线的斜率为k(k≠0)，两端点A、B到y轴的距离之差为4k.

(1)求出以y轴为对称轴，过A、O、B三点的抛物线方程；

(2)过抛物线的焦点F作动弦CD，过C、D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出〧C•〧D擢〧M擢2的值.

问题的答案：(1)x2=4y;(2)点M的轨迹方程y=-1;〧C•〧D擢〧M擢2=-1(解答略).

由答案(2)中可发现点M显然落在抛物线的准线上，于是可得到一个逆向性质：

变式一：过抛物线x2=4y的准线上任一点M作抛物线的两条切线，则过两切点C，D的连线段必通过抛物线的焦点F.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”