也谈平面与空间的类比

陈行光

类比就是一种相似.相似的对象在某个方面彼此一致，类比对象的相应部分在某些方面相似［1］.本文试图对于平面与空间在位置关系，升维与降维的处理方法，平面中四个公式的推广等方面，从相似的结论及解决问题的过程进行类比分析.

1 位置关系

例1 确定①线段AB，②正三角形ABC，③正四面体A—BCD的中心G的位置.［1］

结论：①线段AB的中心G在线段的中点，即GA∶GB=1∶1.

②正△ABC的中心(也就是重心)G满足GA∶GM=2∶1，其中M点为边BC的中心(即中点).

③正四面体A—BCD的中心G满足GA∶GM=3∶1，其中M为底面正△BCD的中心.

证明(略).

从线段到正三角形到正四面体，是从一维直线到二维平面到三维空间的拓广，而结论从1∶1到2∶1到3∶1也是“类比”的猜测.把这种猜测的似真性当作肯定性那是愚蠢的，但是忽视这种似真的猜测是同样愚蠢甚至更为愚蠢的［1］.其证明则经历了从长度到面积到体积的过程.可见对于较简单的类比问题的解答，我们可以利用它的方法或者利用它的结果.

2 升维与降维的处理方法

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”