议“调节点”在数学解题中的作用

胡乐丹

众所周知，数学的产生和发展总是在提出问题和解决问题的过程中进行的.美国数学家哈尔莫斯(玃.R.Halmos)认为，问题是数学的心脏，数学的真正的组成部分是问题和解.著名数学家及数学教育家乔治•波利亚(獹.Polya)也强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练，掌握数学就是意味着善于解题”.与之对应的《普通高中数学课程标准(实验)》也指出：“数学必须培养和提高学生分析问题、解决问题的能力”.因此解题研究便成为高中数学教育研究的热点之一.笔者经过长期研究发现，当解题者寻觅到适当的解题切入点后，并不能保证顺利地解决此数学问题，只能说明解题者通过问题的阅读和理解建构起了最初的“问题空间”；然后随着“问题空间”与来自外部和长时记忆的信息的“接触”，它不断发生新的变化，即变得更为丰富和更为精致；最后问题的解决就取决于解题者最终能否成功地建构出关于所面临问题的一个合适的内在表征.因此可见解题者对解题信息与心理表征进行必要的调节，也即对解题的“调节点”进行分析和监控，便显得尤为重要.下面以学生的一道数学问题的部分解题记录的呈现为例加以说明.

题目 已知正数a,b,c,a1,b1,c1,满足条件a+a1=b+b1=c+c1=k,求证：ab1+bc1+ca1

一、解题“调节点”之一——相继的“思维块”的结合点，即活动的性质发生改变的时刻

生1：“……，试了这么多方法就不能把所要证的不等式两边联系起来呢?

这么多字母，太麻烦了，怎样才能化繁为简呢?我必须重新审视一下.……，代数方法困难，能不能转换角度，用几何方法来解决这一代数问题呢?题目中是否隐藏有几何背景呢?如果我把ab1,bc1,ca1均看成三个矩形的面积呢?有了，k2可以看作边长为k的正方形的面积，从中构造出前面的这三个矩形!试一试.

构造边长为k的正方形ABCD(如图1)，且令DF=a,DG=AH=b1,AG=BH=b,BE=c1,CE=c,CF=a1,并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，由S〢BCD>SⅠ+SⅡ+SⅢ,就有了k2>ab1+bc1+ca1.真漂亮!老师你说呢?”

生2：“先设法把所求式子中的字母减少一些，利用已知条件代掉a1,b1,c1不就行了吗?于是得到ab1+bc1+ca1=a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)=k(a+b+c)-(ab+bc+ac).然后怎么办呢?上式右边无论怎样与k2也联系不起来?!……，我失败了!”

笔者认为，在解题分析中我们首先应特别注意解题“调节点”之一——相继的“思维块”的结合点，即活动的性质发生改变的时刻.如生1采取“数转化为形”的时刻：他认为代数方法遇到困难，而题目中的某些条件恰好与其本人已有的认知结构发生联系和碰撞，从而此刻“问题空间”向着成功的方向转化.而生2在解题过程中题目信息与本人已有的相关知识脉络之间没有发生共鸣或弥合，进而导致解题失败.

二、解题“调节点”之二——重要的新信息的出现或考虑采取新的解题途径的可能性的时刻

生3：“已知条件的等式中没有式子ab1+bc1+ca1，能不能通过某种方法找出背后隐藏的且包含这个式子的表达式呢?那么已知等式中的除k以外的其他三个式子相乘不就行了吗!不行，这样得到的式子太多了，竟然有八个

式子!

看来我如果不能简化这些式子的话，那么只能另攀高枝了.先计算一下再说：

k3=(a+a1)(b+b1)(c+c1)=abc+a1bc+acb1+a1b1c+abc1+a1bc1+ab1c1+a1b1c1,

嗯，由初中讲的分组分解法先提取公因式呢，于是有：

k3=(abc+a1b1c1)+ab1(c+c1)+ca1(b+b1)+bc1(a+a1),

好!我做出来了!由上式可知：k3>ab1k+bc1k+ca1k=k(ab1+bc1+ca1).

又由于k>0，所以k2>ab1+bc1+ca1.”

生4：“这道题最大的问题还是字母太多了，怎么才能减少未知数呢?嗯，我想起来了，减少未知数可用代入消元法加以解决.让我观察一下题目中的式子有什么特点?好象已知条件的式子中具有某种相似性，只要考虑一个式子就行了.已知a+a1=k，能不能变形一下?从而找出与已学知识的联系.噢，这样行了!由a+a1=2×k2，从而联想到数列{a璶}为等差数列的一个充要条件是a璶+a﹏+2=2a﹏+1,所以可以这样解：

∵a+a1=b+b1=c+c1=k,∴a,k2,a1构成等差数列，故可设a=k2-x,a1=k2+x.其中|x|

∴ab1+bc1+ca1=(k2-x)(k2+y)+(k2-y)(k2+z)+(k2-z)(k2+x)

=34k2-(xy+yz+xz)=k2-(14k2+xy+yz+xz).

下面只要证14k2+xy+yz+xz>0，…，字母还是太多了，想了半天，我证不出来.”

笔者认为，在分析中我们还应特别注意解题“调节点”之二——在解题过程中出现了一些重要的新信息或考虑采取新的解题途径的可能性的时刻(尽管解题者在当时可能对此并没有能够清楚地认识到).如生3在解题过程中发现题中的八个式子可采取初中的相关知识加以解决时，充分利用此信息的功能从而导致解题成功；而生4在最后的14k2+xy+yz+xz>0的证明时，完全可以采取函数法加以解决，但对此解题途径他当时并未充分认识到，从而导致解题活动未能圆满完成.

三、解题“调节点”之三——尚未形成“灾难性”的后果，但已出现了错误“迹象”的时刻

生5：“已知条件好像比较复杂，难以利用，能不能变形一下?……，好!可以这样变形，由已知等式得：ak+a1k=bk+b1k=ck+c1k=1.这样我通过结构类比马上联想到三角代换法，即可设a=k玸in2α,b=k玸in2β,c=k玸in2γ,其中α，β，γ均为锐角，…，则

ab1+bc1+ca1=k2［玸in2α(1-玸in2β)+玸in2β(1-玸in2γ)+玸in2γ(1-玸in2α)］

=k2［(玸in2α+玸in2β+玸in2γ)-(玸in2α玸in2β+玸in2β玸in2γ+玸in2γ玸in2α)］.

好象变得越来越繁杂，无法缩短与所证结论的差距!在此思维断线了!”

生6：“思索了这么长时间还没有头绪!我记得老师曾说过：当没有思路时，要重回条件进行分析，看样子只能把条件再变形一下了.把k除过去，化成ak+a1k=bk+b1k=ck+c1k=1.这好像与刚复习过的对立事件的概率公式有点想像!显然0

=(ak+bk+ck)-(abk2+bck2+cak2)+abck3,…，这太复杂了，与结果相差太大，我没法了!”

笔者认为，在分析中我们也应特别注意解题“调节点”之三——尚未形成“灾难性”的后果，但已出现了错误“迹象”的时刻.这时应当引起“反省”以作出必要的调整，否则就会导致失败.如生5在解题过程中采取了正确的解题切入点，但最后并没有利用同角的正余弦平方和为1的公式进行化简，然后再利用有效的放缩来解决问题，反而进行不恰当地组合，导致解题出现思路断档；再如生6在解题时，最后一个表达式分组结合失当，又没有及时反省，导致发出“这太复杂了”的感叹，解题活动的结果可想而知.

由上可见，在解题过程中对“调节点”的分

析和监控折射出解题者对解题信息与大脑中已有的知识脉络之间相互转换、沟通的能力，是解题过程中的又一关键点所在.总的来说，所谓的解题“调节点”是指这样的时刻：此时解题者已经或者应当从“元认知”的高度去采取行动.而数学解题中的“元认知”是指解题者对于自身所从事的解题活动(包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等)的自我意识、自我分析(包括评估)和自我调整.为了保证所从事的解题活动能够获得成功，我们不仅应当首先对解题活动作出整体性的计划，而且应当根据解题的进展情况保持清醒的自我意识，及时分析与监控解题过程中的“调节点”，并且通过自我评价及时作出必要的调整，最后通过反思达到解题活动的圆满成功.

参考文献

［1］郑毓信、梁贯成编著.认知科学、建构主义与数学教育［玀］.上海：上海教育出版社，2002

［2］普通高中数学课程标准(实验)［玀］.北京：人民教育出版社，2003，4

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”