对两个反证法证明的逻辑分析

杨锦义

命题一：如图1，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点，证明或否定二面角A-SQ-B是直二面角.

命题二：已知x>0，y>0，且x+y>2，求证：1+xy与1+yx中至少有一个小于2.

对于命题一，有同学是这样证明的：

如图2，取弧AB的中点为Q，取SQ的中点为E，连AE，BE，OQ，有OQ⊥AB.由三垂线定理得SQ⊥AB.∵轴截面为等腰直角三角形，∴SO=OB.于是SB=BQ=SQ,即三角形SBQ为正三角形.∴BE⊥SQ.同理AE⊥SQ.∴∠AEB为二面角A-SQ-B的平面角.设底面圆的半径为R，∵轴截面为等腰直角三角形，SO=OB=R,SB=BQ=SQ=2R,BE=62R.由余弦定理得

玞os∠AEB=32R2+32R2-4R22×32R2=-13<0,

∴∠AEB是一个钝角.即二面角A-SQ-B是一个钝二面角，∴二面角A-SQ-B不是直二面角.

对于命题二，有同学是这样证明的：

假设1+xy与1+yx都大于或等于2，则1+xy+1+yx≥4，对于满足x>0,y>0，且x+y>2的x、y都成立.取x=2,y=2，有1+22+1+22=3<4，故1+xy与1+yx中至少有一个小于2.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”