一个最值问题引发的思考

段惠民　肖丽华

以下是大家熟悉的一个传统解析几何题：

题目 已知直线l:y=4x和点R(6，4)，在l上求一点Q，使直线RQ与l及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小.

文［1］给出了上题的五种解法，欣赏之后，似有意犹未尽之感.

本题求出的Q点坐标为(2，8)，而R点坐标为(6，4)，设QR交x轴于P，则R点恰好为QP的中点，这难道是巧合?由此引发笔者思考而得出以下两个结论.

定理1 P是∠BAC内一定点，过P作直线EF交∠BAC的两边AB、AC于E、F，当△AEF的面积最小时，P为EF的中点.

证 如图2，延长AP到G，使PG=AP，过G分别作AB，AC的平行线交AB于E，AC于 F，则P是鰽EGF的中心，故P是EF的中点，过P任作一直线交AB于E′，交AC于F′，不妨设E′在线段AE内，F′在AF的延长线上，设E′F′交FG于S，则面积

S△E′EP=S△SFP

∴S△AEF

由此可见，上述解析几何题实在是一个简单的问题，但笔者感兴趣的是它的一个类比问题：如果P是已知三面角内的一个定点，类似的四面体体积的最小值是否也有规律可寻?

事实上，以下定理是成立的.

定理2 已知P是三面角O-ABC内的一个定点，过P作平面交射线OA，OB，OC于D，E，F，当四面体ODEF体积最小时，P为△DEF的重心.