数学思想方法在新教材概率学习中的应用
2008-12-09林少安
林少安
问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂.不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立.数学思想方法是数学的精髓，是新知识拓广的指导思想，是数学概念、定理、公式的认识基础，是解题策略的源泉.因此，在数学教学中，应把数学思想方法的训练贯穿于教学始终.本文着重探讨概率解题过程中数学思想方法的应用.
一、函数与方程思想
函数思想，是用运动和变化的观点分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图像和性质分析问题和解决问题，使问题获得解决.
方程思想是通过引入未知量，构造方程或方程组，分析问题、转化问题，使问题得到解决.
“已知”与“未知”是一个问题中紧紧相连的两个方面，它们之间的关系就是方程(或不等式)关系.因此，在数学中并不是一味地要由“条件”推“结论”，而应从整体上把握“已知”与“未知”间的关系，然后再从数与式两个方面进行突破，这样，方程思想就显得非常重要，而且也富有技巧.
在本章学习中，当求解某些事件的概率时，从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式构造方程，然后通过解方程(组)的方法使问题得以解决.
例1 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲，乙两袋中各任取2个球.若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求乙袋中白球的个数n.
解：记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.由题意，得P(B)=1-34=14；P(B1)=C12•C12C24•C2璶C2﹏+2+C22C24•C12•C1璶C2﹏+2=2n23(n+2)(n+1);P(B2)=C22C24•C2璶C2﹏+2=n(n-1)6(n+2)(n+1).所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14,化简，得7n2-11n-6=0，解得n=2，或n=-37(舍去)，故n=2.
二、分类与整合思想
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的，被研究的问题包含了多种情况，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究.这里集中体现的是由大化小、由整体化为部分、由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.
分类与整合思想，是数学中重要的数学思想之一.分类与整合思想的实质是将整体问题化为部分，然后再各个击破之.分类讨论的关键是逻辑划分标准恰当准确，分类讨论时要做到不重不漏.
在本章学习中，求概率时，要考虑各类情况对应的结果数，这就要进行分类讨论.
例2 若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，求点P(m,n)落在圆x2+y2=16内的概率.
解：先后掷两次骰子，第一次骰子出现6种结果，对于每一种结果，第二次又有6种可能结果，于是一共有6×6=36种不同的结果.
因为点P(m,n)落在圆x2+y2=16内，所以m2+n2<16，考虑到m,n∈{1，2，3，4，5，6}， 进行分类讨论.
当m=1时，n=1,2,3共3种可能；当m=2时，n=1,2,3共3种可能；当m=3时，n=1,2共2种可能；当m≥4时，不符合m2+n2<16.
故点P(m,n)落在圆内有8种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2).故所求概率P=836=29.
三、转化与化归思想
转化与化归思想是数学问题处理中重要的思想方法之一.其目的与意义在于化繁为简、化难为易，其作用是将问题简单化，帮助我们抓住问题的实质，找到解决问题的突破口，从而简便地解决问题.
在解答某类问题时，由于该类问题所包含的情况相对来说较为繁杂，在解答时常常把相应问题等价转化，转化成与其等价的命题.
在本章的学习中，往往会遇到一些求“至多”“至少”等事件的概率，此时需要利用P(A)+P()=1,先求其对立事件的概率，然后利用P(A)=1-P()相应求解；条 件概率的计算，常利用缩小样本空间的观点来等价转化，从而P(B|A)=n(AB)n(A)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的样本空间；在求概率时有时要化成互斥事件的和事件，有时要化成对立事件，由实际问题转化为概率模型等；在几何概型中，将一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题.
例3 两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为25公里，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶.而霍伊在下午3∶00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问他们能够通过对讲机交谈的概率有多大?
解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序数对(x,y)，这里x和y都在它们各自的限制范围内，且所有这样的有序数对构成的集合即为试验的全部结果，每一个点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生，因此构成该事件的点由满足不等式x2+y2≤25的数对组成，此不等式等价于x2+y2≤625.
如图1，长和宽分别为40和30的矩形区域表示试验的所有结果构成的区域，以25为半径的14圆的区域表示试验成功的区域，而矩形面积为30×40=1200(平方公里)，而事件的面积为14π×252=625π4(平方公里)，故所求事件的概率为P=625π4×1200=25π192.
四、数形结合思想
数形结合思想是重要的数学思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的界线，有较强的综合性.“以数辅形”和“以形助数”，从而达到数与形的和谐统一，“形”为问题的骨架形态，给了我们以直观的猜测，而“数”则展示了问题的内部规律，给了我们以量的客观的结论，只有数形结合，才能使我们直观、迅速、准确地解决数学问题.
在本章学习中，可以利用集合的Venn图理解事件间的关系，利用表格、树状图等计算古典概型的基本事件数；利用数轴、坐标系解决几何概型中事件区域的长度、面积、体积；在解实际应用题中借助图像或表格建立相应的函数模型等问题.
例4 在长度为10的线段内任取两点将线段分成三段，求这三段可以构成三角形的概率.
解：设构成三角形的事件为A，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x、y、10-(x+y),则0 0 0<10-(x+y)<10,即 0 0 0 0 5 五、或然与必然的思想 人们发现事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的，或随机的.为了了解随机现象的规律性，便产生了概率论这个数学分支.概率是研究随机现象的学科，随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果未必相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果；二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近.了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率.知道这两点就说明对这个随机现象研究清楚了.概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想. 例5 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼， 例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数. 解：设水库中鱼的尾数为n,n是未知的，现在要估计n的值.假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾，设事件A={带有记号的鱼}，易知P(A)≈2000n① 第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m=40，由概率的统计定义可知P(A)≈40500 ②. 由①②两式，得2000n=40500，解得n=25000，所以，估计水库中约有鱼25000尾. 注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
