一道几何题的古今解法对照

葛梅芳

江苏版高中数学选修1-1课本第４５页，有这样一道例题：

已知点P(x, y)到定点Ｆ（c,0）的距离与它到定直线Ｌ：x=a2c的距离的比是常数ca(a>c>0),求点Ｐ的轨迹.

解 由题意得（x-c)2+y2|a2c-x|=ca

化简得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

令a2-c2=b2,则化为x2a2+x2b2=1(a>b>0)

所以Ｐ点轨迹为椭圆.

从例题可以得到结论：平面上到定点的距离与它到定直线的距离的比为常数（小于１的正常数）的点的轨迹是椭圆.

其实，古代数学家欧几里得在失传的几何著作《面轨迹》中就已给出这一命题但未证明：

“到定点与定直线的距离之比等于给定的比的点的轨迹是圆锥曲线.当给定比小于１时，它是椭圆；当给定比等于１时，它是抛物线；当给定比大于１时，它是双曲线.”

后来是亚历山大时期数学家帕普斯（Pappus, 约公元290-350）给出了如下证明.（注，当时数学家还没有提出直角坐标系和坐标及方程的概念）

古代数学家帕普斯对上述命题的证明：(以椭圆为例)

图1

如图1: 设F为定点，FB为定直线的垂线，P为动点，已知PFBN=e （e为常数，且e<1），求P的轨迹.

分析BN即P到定直线的距离.

解 作PN垂直于FB, 在FB上取点K，使得FNNK=PFBN=e，在NF或其延长线上取点K′，使得NK′=NK (如图2).于是PF=e·NB，

图2

FN=e·NK

PN2=PF2-FN2

=e2·NB2-FN2

=e2·NB2-e2·NK2

=e2(NB+NK)·(NB-NK)

=e2·BK′·BK①

设A和A′是FB上满足已知条件的点，

即FAAB=FA′A′B=e，则

FAAB=FNNK=FNNK′=FA′A′B=e

所以FA+FNAB+NK=e,即ANAB+NK′=ANBK′-AN=e，所以ANBK′=e1+e

FA′-FNA′B-NK=e, 即A′NBK+A′N=e,所以A′NBK=e1-e,

所以AN·A′NBK′·BK=e21-e2②

由①和②得：PN2AN·A′N=1-e2③

因此，根据古代数学家阿波罗尼奥斯已经在它的《圆锥曲线》中的定义，可知最后一个方程表明点Ｐ的轨迹是椭圆.

阿波罗尼奥斯是古代的研究圆锥曲线最有名的数学家，按照他的结论：

设L为椭圆上任意一点，过L作ED的垂线交

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