一道无理函数值域的不同解题方法
2008-11-24舒飞跃
舒飞跃
数学的主要功能是解决问题.因此，具体的解题中选择解题的方法是十分重要的，不同的思维过程对解题方法选择起到关键性的作用.下面以一道无理函数值域的求解为范例，具体展示一下不同的思维过程对解题方法不同层次的思考，供参考.
问题： 求函数y=x+4+5-x2的值域.
1 以代数为基础的思考
在解题中以代数为基础思考，经常会用到方程，三角变换，数形结合等解题思想.
1.1 方程的思想（判别式法）
解法1 y-(x+4)=5-x2,平方整理得，2x2+(4-y)x+y2-8y+11=0,
因为x∈R,所以Δ≥0，所以y2-8y+6≤0,所以4-10≤y≤4+10，但
y≥x+4,当x=-5时，y≥4-5,所以4-5≤y≤4+10.
点评 用判别式法求解函数值域时，要注意其等价性.
1.2 三角代换
解法2 函数的定义域为|x|≤5，
所以令x=5sinθ,(-π2≤θ≤π2).所以y=5sinθ+4+5(1-sin2θ)=4+10sin(θ+π4),
因为-π2≤θ≤π2,-π4≤π4+θ≤3π4,
所以-22≤sin(θ+π4)≤1,所以4-5≤y≤4+10.
点评 上面的解题过程，要注意角的取值范围与代换内容一致.
图1
1.3 数形结合思想
解法3 令t=x,s=5-x2,则t2+s2=5,从而问题转化为约束条件为t2+s2=5
s≥0
t∈R,求函数y=t+s+4的最值问题，根据约束条件，画出
可行域（如图1）可行域是图中弧AB（含端点）.
于是，y在A点取得最小值为4-5,直线与
弧AB相切时，取得最大值为4+10.
所以4-5≤y≤4+10.
点评 在解题中注意到将函数转化为与圆锥曲线方程有关的约束条件，把函数变成目标函数，利用线性规划的思想可完成函数的值域的求解.
2 以解析几何为基础的思考
2.1 利用点到直线的距离公式来解
解法4 可根据解法3，问题可转化为最值点在圆t2+s2=5上.由圆与直线的位置关系，得
|0+0-4-y|2≤5，
解得4-10≤y≤4+10,
又s=y-(t+4)≥0,即y≥t+4,(|t|≤5)
所以当t=-5时，y=4-5.
所以4-5≤y≤4+10.
点评 充分利用解析式的结构特点，将问题转化为圆和直线的位置关系，使问题得到解决.
2．2 利用斜率公式求解
解法5 因为函数的定义域为［-5,5］.令x=5sinθ,5-x2=5cosθ,其中-π2≤θ≤π2,则函数转化为y=5sinθ+5cosθ+4.
设sinθ=2t1+t2,cosθ=1-t21+t2,(-1≤t≤1).
则y=25t1+t2+51-t21+t2+4=(4-5)+
25t+11+t2.
令X=t2,Y=t,则y=(4-5)+25Y+11+X.
图2
设k=Y+1X+1,则k表示定点A(-1,-1)与抛物线Y2=X(-1≤Y≤1)上动点P(X,Y)连线的斜率(如图2),由图2,可知kAC≤k≤kAP0,其中直线AP0与抛物线Y2=X相切,P0为切点.
由k=Y+1X+1,X=Y2,消去X,得kY2-Y+k-1=0,
由Δ≥0,知(-1)2-4k(k-1)≥0,解得
1-22≤k≤1+22
因为kAP0>0,所以kAP0=1+22
又kAC=0,0≤k≤1+22,而y=4-5+25k
所以4-5≤y≤4+10.
点评 只要把所求问题转化为斜率公式的形式，利用斜率的几何意义就可求解.
3 以新工具为基础的思考
3.1 向量法
向量工具可以解决与长度，距离，角度有关的问题
解法6 构造向量a=(1,1),b=(t,s)=(x,5-x2
),原函数转化为y=a·b+4，由5-x2≥0,得-5≤x≤5.所以0≤s≤5,-5≤t≤5,|b|=5.
由a与b的终点形成的图形（如图3）.当a与b夹角最小时，
ymax=|a||b|+4=10+4.
图3
当a与b夹角最大时，ymin=|a||b|cos3π4+4=-5+4.
所以4-5≤y≤4+10.
点评 利用向量的数量积公式中，若|a|,|b|均为定值,
3.2 用导数求解
在闭区间［a,b］内连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.本题求函数的值域问题可转化为函数y=x+4+5-x2在区间［-5,5］上的最大值与最小值.用导数处理相当方便.
解法7 y′=1+125-x2(5-x2)′=25-x2+2x25-x2,
令y′=0,有25-x2+2x=0,解得x=±102.
由f(-5)=4-5,f(-102)=4,f(102)=4+10,f(5)=5+4.
所以函数的最大值为4+10,最小值为4-5.
所以函数的值域为4-5≤y≤4+10.
点评 利用求导讨论函数单调性,求函数的最值来完成函数的值域问题.
总之，在解题时要发现不同知识的交汇，为解题提供新的思考角度，使问题得到全新的诠释.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
