“学”始于“动”，“考”置于“动”

杭秉全

南京市2008年初中毕业学业考试数学第27题，在考查“圆与直线位置关系”上又有了新的探索与尝试．笔者有幸参与此题阅卷工作，有机会对本题做了较多的思考，对学生解答中出现的多种解法与典型错误有较多的了解，从而引发了对平时的数学教学工作的回顾与反思，有了一些认识，现撰写成文，与同仁们交流．

图1试题：如图1，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q． A，B两点同时从点P出发，点A以5cm／s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm／s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t s．

ィ1）求PQ的长；

（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

1 考点与背景

1．1 试题考点

本题是运动变化型问题，综合性很强．

（1）知识考查：直线与圆相切的性质与判定方法；勾股定理；三角形相似的性质与判定方法．

（2）技能考查：实数运算及解方程．

（3）数学思想方法考查：方程的思想、分类的思想、数形结合的思想以及运动变化的观念．

1．2 试题背景

1．2．1 试题的教学背景

直线与圆的位置关系是“圆”中的重要内容，其中直线与圆相切又是直线与圆的三种位置关系中最重要的，平时教学在这部分内容上投入了很多的时间与精力．

本市初中学生使用的苏科版教材在直线与圆的位置关系这块内容的引入的设计是：欣赏《海上日出》图片，品味巴金描述日出的动态过程的文字；在纸上画一个圆，上下移动直尺，在移动过程中观察、感受直线与圆的位置关系的变化，进而描述这种变化．可以说，学生对“圆与直线位置关系”的学习，开始于对“圆与直线位置关系的动态变化”的欣赏、操作与思考．今年对“圆与直线位置关系”的考查，放在一个“运动变化”的情境中，真可谓：“学”始于“动”，“考”置于“动”，这样的设计起到了“考”与“学”的和谐统一．

1．2．2 试题的命制背景

南京近几年在图形运动变化中考查“直线与圆位置关系”做了很多的思考与实践，形成了自己的考查特色与考查研究系列．

（1）回顾、分析南京近几年的相关考题的设计

题1 如图2，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t (s)，当t=0 (s)时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．(南京市2005年初中毕业生学业考试试题)

ね2

题2 已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．

（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图3），AF=23，求DE的长；

（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图4），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．(南京市2006年初中毕业生学业考试试题)

ね3图4

ネ5

题3 如图5，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．

ィ1）如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；

（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．(南京市2007年初中毕业生学业考试试题)

プ酃劢几年南京的考题，可以发现对“直线与圆位置关系”的考查都设置在一个运动变化的情境中，但每年运动变化的类型不同．2005、2006年的试题背景中，圆动线不动；2007年的试题背景中，线动圆不动．再具体来看，2005年试题背景中，运动的半圆O位置变化，但大小不变；2006年试题背景中，由于折痕位置的变化，△AED的外接圆的位置与大小都在改变；2007年试题背景中，设计了一个动点P，过动点P和定点B的直线BP的运动变化方式是绕定点B旋转．此外，这些题设置的问题考查内容与形式也不尽相同，2005年试题是探究运动的半圆O所在的圆与△ABC的边所在直线形成相切的运动时间；2006年试题是用直线与圆相切定位，考查相关的推理与计算；2007年试题考查学生利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来进行直线与圆相切的说理．

（2）纵向对比分析2008年的试题的设计

纵向对比前几年试题的设计，不难看出2008年试题的设计延续了前几年的思考与实践，同时又有了一些新的思考与变化．在运动变化情境的设计上延续了2007年的“线动圆不动”，变化在于：由“单动点”变为“双动点”；因为点的运动产生的线的运动方式由“旋转”变为“平移”．将这种运动情境的设计与前几年的综合起来分析，不难发现南京在“圆与直线”运动情境的设计方面形成了自己独特的认识，走出了一条自己的路子，并逐渐形成了系列，若按这条思路进一步探索、思考下去，还可以不断开发出新的运动情境，如：线动圆也动，等等．在考查内容与形式上也有一些变化，2007年考查的是“通过位置关系，确定直线与圆相切”，今年考查的是“通过数量关系，确定直线与圆相切”，且设计的两小问综合考查了“直线与圆相切的性质与判定”．

由此可见，2008年南京中考数学第27题的设计有它的命制背景，它是近几年来南京在这类问题上思考与实践的延续和发展．

2 多种解法与典型错误

2．1 试题多种解法

ピ木碇蟹⑾盅生在解答时用到了多种解法，现给出几种，其中解法1是阅卷时提供的参考答案．

解法1 （1）连结OQ．

因为PN与⊙O相切于点Q，所以OQ⊥PN，即∠OQP＝90°．因为OP=10，OQ=6，所以PQ=102-62=8(cm)．

（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．

因为点A的运动速度为5cm／s，点B的运动速度为4cm／s，运动时间为ts，所以PA=5t，PB=4t．

因为PO=10，PQ=8，所以PAPO=PBPQ ．

因为∠P=∠P，所以△PAB∽△POQ．

所以∠PBA=∠PQO = 90°，

因为∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，所以四边形OCBQ为矩形．所以BQ = OC．

因为⊙O的半径为6，所以BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．

① 当AB运动到如图6所示的位置．

BQ=PQ-PB=8-4 t．

由BQ=6，得8-4 t＝6．

解得t=0.5（s）．ネ6图7

② 当AB运动到如图7所示的位置．

BQ=PB-PQ=4 t-8．

由BQ=6，得4 t-8=6．

解得t=3.5（s）．

所以，当t 为 0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．

点评 运动变化的直线与圆的位置关系如何，取决于圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．设法用运动时间t来表示圆心到直线的距离，这样就可以把位置关系问题转化为数量分析的问题，那么问题就可迎刃而解了．

解法2 （1）（同解法1．）

（2）（同解法1，得出∠PBA=∠PQO=90°．）

所以AB=AP2-BP2=(5t)2-(4t)2=3t．

① 当AB运动到如图6所示的位置与⊙O相切时，OA＝PO－PA＝10－5t，OC＝6．

因为∠PAB=∠OAC ，∠PBA=∠OCA，所以△PAB∽△OAC．所以PAOA=PBOC，即5t10-5t=4t6．

解得t1=0（不合题意，舍去），t2＝0.5．

② 当AB运动到如图7所示的位置与⊙O相切时，OA=PA-PO=5t-10，OC=6．

因为∠PBA=∠PQO=90°，∠PAB=∠OAC，所以△PAB∽△OAC．

所以PAOA=PBOC，即5t5t-10=4t6．

解得t3=0（不合题意，舍去），t4＝3.5．

所以，当t 为 0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．

点评 正确分析直线运动的特点，画出其与圆相切的图形，利用动静结合的思路，分析直线与圆相切时，能出现的数量关系，也可找到一条解决问题的思路．

解法3 （1）（同解法1．）

（2）（同解法1，得出∠PBA=∠PQO= 90°．）

所以AB=AP2-BP2=(5t)2-(4t)2=3t．

当AB与⊙O相切时，

因为BQ、BC是⊙O的切线，切点分别为Q、C．

所以BC＝BQ．

在Rt△OAC中，根据勾股定理，得AC2+OC2=OA2．

① 当AB运动到如图6所示的位置与⊙O相切时，

OA=PO-PA=10-5t，

BC=BQ=PQ-PB=8-4t，

AC=BC-BA=8-4t-3t=8-7t．

则(8-7t)2+62=(10-5t)2．

解得t1=0（不合题意，舍去），t2＝0.5．

② 当AB运动到如图7所示的位置与⊙O相切时，

OA=PA-PO=5t-10，

BC=BQ=PB-PQ=4t-8，

AC=BA-BC=3t-(4t-8)=8-t．

则(8-t)2+62=(5t-10)2．

解得t3=0（不合题意，舍去），t4＝3.5．

所以，当t 为 0.5 s或3.5 s时直线AB与⊙O相切．

点评 当直线与圆相切时，直线与过切点的半径垂直，就会出现直角三角形，若此直角三角形的边与运动时间t有关，即可利用“勾股定理”建立关于“t”的方程，这样就可以得出结果了．

ビ缮鲜龈髦纸夥ㄗ阋钥闯龃颂饪疾榈淖酆闲院徒夥ǖ姆岣恍裕综观这些解法可以看出，经过推理得到△PAB∽△POQ，推出∠PBA=90°，接下来设法建立运动时间t的方程，从而求出结果是解答第（2）小题的思路主线．其中建立运动时间t的方程的相等关系有三种：① d=r；② 勾股定理；③ 相似三角形对应边成比例．

2．2 学生典型错误

本题是全卷重点把关题之一，具有很好的区分度和很强的综合性，在阅卷中发现学生答题出现了很多问题，主要有下列几种：

2．2．1 思路出偏差

在解答第（1）小题中出现：点A从点P运动到点O需10÷5＝2秒，那么点B从点P运动到点Q也需2秒，所以PQ＝4×2=8（cm），但没有说明点A运动到点O的同时点B运动到点Q的原因．

图8在解答第（2）小题中出现：没能由条件正确分析出移动的直线AB与⊙O相切的2种位置情况，漏掉1种情况，或画出了一些错误或不可能出现的相切情形，学生画切线的错误有4种，如图8中的l1，l2，l3，l4，其中l1和l2不与⊙O相切，l3和l4虽与⊙O相切，但不是AB运动过程中能出现的位置．

2．2．2 知识有缺陷

在解答第（1）小题中出现：①辅助线做法写为作OQ⊥PQ．不清楚Q是切点，是个已知点，它不是通过画图得到的点；② 计算时出现PQ=102-62=±8，PQ=102-62=64=8的错误，说明将算术平方根的概念与平方根的概念混淆．

在解答第（2）小题中出现：① 解题过程中，缺少“说明△PAB∽△POQ，从而得出∠PBA＝∠PQO＝90°”这一重要步骤，没有经过推理，直接写出AB⊥PN；② 只写出一组对顶角相等，就得出△PAB∽△OAC．

2．2．3 格式不规范

在解答第（1）小题中出现：① 由“PN与⊙O相切”直接得出“PQ=102-62=8（cm）” ，缺少中间的推理过程；② 不写条件“PN与⊙O相切”，直接得出“∠OQP=90°”．

在解答第（2）小题中出现：① 在说明△PAB∽△POQ时，虽列出了“PAPO=5t10，PAPO=4t8”或“5t10=4t8”，但没有写出相似的重要条件“PAPO=PBPQ”；② 在说明△PAB∽△POQ时，漏写条件∠P=∠P；③ 在推出△PAB∽△POQ后，直接得出“AB∥OQ”，缺少中间的推理过程；④ 说明“PAPO=PBPQ”后，直接得出“AB⊥PN ”，缺少中间的推理过程．

2．2．4 计算不过关

在解答第（1）小题中出现：PQ=102-62=136，PQ=102-62=10-6=4．

ピ诮獯鸬冢2）小题中出现：已正确列出关于t的方程，但解方程出错．

3 反思与认识

本题背景设计新颖，解法多样，但学生的答题出现了很多问题，反思学生答题中的错误与我们平时的教学有以下几点认识：

3.1 夯实基础教学

“基础知识、基础技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体．学生在答题中出现的“知识有缺陷”、“格式不规范”、“计算不过关”都是基础不扎实、训练不到位的表现．在新课程标准下的数学教学，夯实基础仍然十分重要．我们的教学应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联；基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理．初三总复习时，综合题的题海战术不仅不能提升学生的数学能力和数学成绩，反而会使学生精疲力尽，丧失对数学学习的兴趣甚至是数学学习的自信心．惟有扎实的基础，才能确保综合能力有进一步的提升的基础．所以在平时的教学中，包括初三的总复习时的教学中，都要重视基础、夯实基础教学．

3.2 加强推理教学

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理的意识和能力对于一个人来说是非常重要的，推理能力是义务教育阶段学生需要获得的重要能力之一，是数学学习内容的核心目标之一．《数学课程标准》指出推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑．学生答题中，出现的“格式不规范”是不能清晰、有条理地表达自己的思考的表现；“漏写必要的解题步骤”是不能做到言之有理、落笔有据的反映．推理不仅存在于“空间与图形”中，同样也存在于“数与代数”、“概率与统计”中，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中，在平时的教学中，要把推理能力的培养落到实处，多渠道、多方面地加强推理能力的训练和培养．

3.3 重视思想方法渗透

数学思想方法是数学的灵魂，它蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括．学生在解答第（2）小题时，出现“漏解、错解”是因为没能正确分析、合理想象、把握直线AB运动变化全过程,缺乏空间观念和分类讨论的思想；“找不到思路”是不能用数形结合的思想，挖据直线与圆相切时，应具备的数量关系（d=R），或是不能用数形结合的思想分析出直线与圆相切时，图形中出现的相等关系（如：出现直角三角形，其三边满足a2+b2=c2；出现相似三角形，它们的对应边成比例）.由此可见，在我们平时的教学中，要重视数学思想方法的渗透，和“空间观念”的培养；要合理创设情境、引导学生自主探索，为他们提供感悟这些思想的机会；要鼓励学生积极参与教学过程，独立思考、合作交流、积累数学活动经验，逐步感悟这些思想．这样学生的数学能力、数学素养与数学意识才能得到根本的提高．

プ髡呒蚪椋汉急全， 1974年11月生，江苏南京人，中教一级. 主要研究数学中考、有效教学（有效教学设计、有效教学评价）．2000年获南京市优秀青年教师称号；2002年参加江苏省初中青年数学教师优质课评比获一等奖；2004年获南京市学科教学带头人称号，有10余篇论文、案例在市级或市级以上评比中获奖或发表．