综合型概率问题

陈茂林

概率与代数、概率与几何综合问题是一种重要的题目类型，中考中也经常出现.本文以中考题为例说明这类问题的特点和解法，供参考.

例1 （2008年泰州市）已知关于x的不等式ax+3>0（其中a≠0）.

（1） 当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集.

（2） 小明准备了10张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1.将这10张卡片一面向下放在桌面上，从中任意抽取1张，以卡片上的数作为不等式的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率.

分析： 第（2）题用列举法，把10个整数作为系数a逐个代入不等式，求出不等式的解集，然后逐一探求此不等式是否有正整数解.在弄清楚所有情况之后，根据古典概型的概率计算方法求出此不等式没有正整数解的概率.

解：（1） 略.

（2） 取a =－1，不等式ax+3＞０的解集为x＜3，不等式有正整数解.

取a =－2，不等式ax+3＞０的解集为x＜ ，不等式有正整数解.

取a =－3，不等式ax+3＞0的解集为x＜1，不等式没有正整数解.

取a =－4，不等式ax+3＞0的解集为x＜ ，不等式没有正整数解.

经验证，取a =－5，－6，－7，－8，－9，－10时，不等式ax+3＞0都没有正整数解.

∴共有10种可能情况，其中没有正整数解的情况有8种.

∴P（不等式没有正整数解）= = .

例2 （2007年镇江市）如图1，圆心与坐标原点重合.在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“格点”.

（1） 写出⊙O上所有格点的坐标：______.

（2） 设l为经过⊙O上任意两个格点的直线.

① 满足条件的直线l共有多少条？

② 求直线l同时过第一、二、四象限的概率.

解：（1） ⊙O上所有格点的坐标为：（1，2），（2，1），（2，-1），（1，-2），（-1，-2），（-2，-1），（-2，1），（-1，2）.

（2） ① 不妨设第（1）题的8个点依次为A，B，C，D，E，F，G，H，那么经过点A的直线有7条.同理，经过B，C，D，E，F，G，H点的直线也各有7条，但是AB和BA是同一条直线，所以经过格点的直线共计有：7×8÷2=28（条）.

也可用列表或画树状图法求得.

② 同时经过第一、二、四象限的直线为AB，AC，BH，CH.

所以P（直线l同时经过第一、二、四象限）= = .

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文