四边形问题的解答策略

孙琪斌

策略1对角线优先

例1 （上海市）如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1） 求证：四边形ABCD是菱形.

（2） 若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

（说明：本文所有例题皆选自2008年中考题）

分析： 证四边形ABCD是菱形的方法有多种：证明四边形ABCD的四条边相等；证明平行四边形ABCD有一组邻边相等（如，通过△EAD≌△ECD证AD=CD）；证明平行四边形ABCD的两条对角线互相垂直.

若从AC既是平行四边形ABCD的对角线，又是等边△ACE的一条边的角度展开思考，可优先考虑对角线，利用等腰三角形的三线合一，证AC⊥BD.事实上，有相当一部分题目，在从边、角、对角线三个方向上构思解题策略时，可优先考虑对角线.

证明：（1） 由四边形ABCD是平行四边形，得OA=OC.

由△EAC是等边三角形，且OA=OC，得EO⊥AC.

∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形.

（2） 由△EAC是等边三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.

由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.

因为∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.

因为OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.

注：也可以这样证明：因平行四边形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四边形ABCD是正方形.

策略2若直觉无效，则不妨从最原始的地方思考

例2 （重庆市）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.

求证：（1） △BFC≌△DFC；（2） AD=DE.

分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得△BFC≌△DFC.

（2） 证明AD=DE，估计同学们凭借直觉在较短时间内无法找到证明方法.这时不妨从最原始的地方展开思考：利用全等三角形证明AD=DE.连接BD，得△ADB、△EDB.不难发现，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲证明△ADB≌△EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考虑待证线段AD=DE）.从运用DF∥AB的角度思考，可考虑证∠ABD=∠EBD.

由△BFC≌△DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.

又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.

∴∠ABD=∠EBD.

证明：略.

注：本题也可以延长DF交BC于点H，利用△BHF≌△DEF证BH=DE，利用平行四边形ABHD的对边相等，得AD=BH，从而完成证明.

策略3构造基本图形

例3 （山东省）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点.求证：CE⊥BE.

分析： 延长CE交BA的延长线于点F（如图３）.

由△DCE≌△AFE，得CE=FE，CD=FA.

因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.

△BCF是等腰三角形三线合一的基本图形.

证明：略.

注：本题也可通过具体计算的方法，借助勾股定理的逆定理证明两条直线互相垂直.

策略4计算证明法

例3再证：如图4，过点C作CF⊥AB，垂足为F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.

在Rt△BCF中，AD=CF= =2 .

在Rt△CDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.

在Rt△BAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.

∴CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.

∴∠CEB=90°.

注：本题还可通过过E作中位线进行计算证明.

策略5化归策略

例4 （莆田市）如图5，已知矩形ABCD，点P是BC边上的一个动点.

（1） 求证：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（2） 请你探究：当点P在矩形ABCD的内部（如图6）时，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，请给出简单的证明过程；若不成立，请简述理由.

（3） 当点P在矩形ABCD的外部（如图7）时，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，请给出简单的证明过程；若不成立，请简述理由.

分析： （1） 因线段PA，PB位于Rt△PAB中，PC，PD位于Rt△PCD中，所以从运用勾股定理的角度可以将待证结论PA2+PC 2=PB 2+PD 2化为PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

在Rt△ABP中，PA2-PB 2=AB 2；在Rt△CDP中，PD 2-PC 2=CD 2.

由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

（2） 如图6，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，则问题（2）即可以化归成问题（1）.

运用（1）中的结论，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .两式相减，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（3） 仿第（2）题，在图7中，过点P作EF∥BC，分别交BA，CD的延长线于E，F，即可将问题化归为问题（1），仿第（2）题的方法可获解.

证明：略.

策略6整体考察法

例5 （广州市）如图8，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）.

A. B. 2 C. D.

分析： 若从把阴影图形拼接成正方形的角度思考，本题有一定的难度.若不考虑具体拼接方法，而直接从拼接前后面积不变的角度，立足整体考察问题，则新正方形的边长易求.容易发现：阴影面积为5个平方单位，因此新正方形的边长应该为 .

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文