一道中招试题的回顾与反思

段金有

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，是数学活动的核心与动力.”对学生来说，通过回顾所完成的解答，重新考虑和重新检查得出这个结果的思路，可巩固知识和发展自己的解题能力.

例如图1，已知：⊙O1和⊙O2相交，⊙O1的弦AB交⊙O2于点C、D，O1O2⊥AB于F，过B作⊙O2的切线，切点为E，连接EC、DE.若BE=DE，∠BED=30°，AC、CE的长是方程x2-10x+16=0的两个根（AC

证明：连接O2C、O2D、O2E.

（1）∵DE=BE，∠DEB=30°，

∴∠B=∠BDE=75°.

∵BE是⊙O2的切线，DE是弦，

∴∠BCE=∠DEB=30°.

∴∠BEO2=75°.

∴∠B=∠CEB=75°.

∴BE=CE.

（2）∵BE是⊙O2的切线，O2E是半径，

∴∠BEO2=90°.

∵∠BED=30°，

∴∠O2ED=60°.

∵O2D=O2E，

∴△O2DE是等边三角形.

∵AC、CE是方程x2-10x+16=0 的两个根（AC

∴AC=2，EC=8.

∵AB⊥O1O2，

∴AF=BF，CF=DF.

∴AC=BD=2.

∵BE是⊙O2的切线，BC=EC=8，

∴BE2=BD·BC=2·8=16.

∴BE=DE=4，即⊙O2的半径为4.

另种解法：

∵∠CEB=75°，∠DEB=30°，

∴∠DEC=45°.

∴∠CO2D=90°.

∵O2C=O2D，CD=BC-BD=8-2=6，