你会探索规律吗

刘继征　金家春

探索规律问题是十分有趣的，本文举了两例，以抛砖引玉，希望能对同学们有所启示.

规律探求问题既有利于考查同学们运用数学符号的能力，又能体现同学们运用规律解决问题的能力.下面从一则简单的问题入手，例析其解法.

问题1研究下列算式，你会发现什么规律？请将你找出的规律用公式表示出来.

1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；……

解析：所要找出的规律就是第n个式子怎么表示.很明显，每个等式左边为两个式子的和，其中第二个式子为常数1，不变；而第一个式子为两个数相乘，且第一个数又比第二个数小2.从总体上看，第一个式子的第一个数是从自然数1开始的，并依次增加1.等式的右边恰好是左边相乘的那两个数的平均数的平方.这样，第n个式子就是n（n+2）+1=（n+1）2，这正是所发现的规律.

好的，知道规律了，同学们肯定会求99×101+1的值，自己动手算算吧.通过上题的分析，我们知道，想学好数学，就需要不断去猜想、探索和总结.当然，对于猜想的结论是否正确，仍须进行证明.但有些复杂问题，有待今后证明.再看下面的问题.

问题2观察下面的等式，并根据规律，请你猜测：

1×2=×1×2×3；1×2+2×3=×2×3×4；1×2+2×3+3×4=×3×4×5；1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6；…；1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=（n为正整数）.

解析：仔细观察，并根据此题的特征，不难发现，等式右边恰为三个连续正整数的乘积的.这样第n个等式就是：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）.这正是所得出的规律.

变式训练题：请求出式子1×2+2×3+3×4+…+2 007×2 008的值.

（提示：可利用所探索出的公式，得：原式=×2 007×2 008×2 009=2 698 794 168）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文