绝对值中蕴涵的数学思想

徐寿春

绝对值是初中数学知识的一个重点,也是一个难点,其中蕴涵着许多有价值的数学思想,值得好好挖掘.现借助几例,与你一起来探究一下.

一､分类讨论的思想

我们知道:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.反过来,一个数的绝对值是正数,则这个数的正负性有两种可能,我们在解决问题时,就要分类讨论研究.

例1已知|x|=1,y=1,求x+y的值.

分析:由绝对值的定义可知:已知|x|=1,可求出x=±1.从而求出代数式x+y的值,这里须分情况讨论.

解:∵|x|=1,

∴x=±1.

于是有两种情况:

(1)当x=1,y=1时,x+y=1+1=2;

(2)当x=-1,y=1时,x+y=-1+1=0.

一个数的绝对值是正数,则这个数的正负性有两种可能,在没有说它是正是负时,要分类讨论.

练一练绝对值等于它的相反数的数是_______________.

提示:我们知道,负数的绝对值等于它的相反数,是不是就这一种?仔细一想,还会记起“零的绝对值是零”,其包括两层意思:一,零的绝对值是它本身;二,零的绝对值是它的相反数.熟练掌握了这种特殊性质,就容易解决这个问题了.

二､数形结合的思想

我们知道:在数轴上表示一个数的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值.绝对值反映了“距离”问题,由此得出:

①任何一个数的绝对值都是非负数;

②在原点两边存在着与其距离相同的两个点,但它们表示的数正好是相反数;

③绝对值最小的数是零,但无绝对值最大的数.

例2绝对值小于2 008的所有整数有多少个?

分析:直接列出所有整数,可能会漏一些数,借用数轴来做做.

解:画数轴草图,这里略.

在数轴上离开原点的距离小于1,这样的点表示的整数只有一个:0.

在数轴上离开原点的距离小于2,这样的点表示的整数只有三个:0,±1.

在数轴上离开原点的距离小于3,这样的点表示的整数只有五个:0,±1,±2.

故绝对值小于2 008的所有整数,共有2 007×2+1=4 015(个).

结合数轴,先从简单情形入手,逐步深入分析,找出规律,从而解决问题.