填数问题的解决方法

陈德前

在近年来的中考试题中，常出现一些填数问题，下面举例说明这类问题的解决方法.

1. 寻找规律填数

例1（2007年山西中考题）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法（如图1），则“ ？”处应填．

观察图1，我们会发现：从行看，第2行中每个数应是第1行中对应数字的3倍，第3行中每个数是第1行中对应数字的7倍，因此“ ？”处应填6；从列看，第2列中每个数应是第1列中对应数字的2倍，第3列中每个数是第1列中对应数字的5倍，因此“ ？” 处应填6.

解：填6.

2. 利用推理填数

例2（2007年北京市中考题）如图2，在五环图案内分别填写5个数字a、b、c、d、e，其中a、b、c是3个连续偶数，且a

因为ａ、ｂ、ｃ是3个连续偶数，且ａ<ｂ<ｃ，所以可得b=a+2，c=a+4.d、e是两个连续奇数，且d

解：令a=2，则有b=4，c=6，d=5，e=7；

令a=6，则有b=8，c=10，d=11，e=13，如图5；

令a=10，则有b=12，c=14，d=17，e=19，如图6.

从图5、图6中选一个即可.

3. 借助公式计算

例3（2007年无锡市中考题）图7是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有1个圆圈，以下各层均比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．将图7倒置后与原来的图形拼成图8的形状，这样我们可以算出图7中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=．

假设图7~图10中的圆圈都是12层，解答下列各题.

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图9所示的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边那个圆圈中的数是什么？

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图10所示的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图10中所有圆圈中数字的绝对值之和．

（1）因为所填入的数字是连续的，所以我们可以考虑求出最底层上面一层最右边那个圆圈中的数字，这样就可以知道最底层最左边那个圆圈中的数字.

（2）我们首先要考虑图10中的数字有没有可能出现0和正数的情况，如果出现，就要分种类计算，然后再求它们的绝对值之和.

解：（1）将11代入公式可求得结果为66，即前11层共填了66个数，所以第12层（即最底层）最左边那个圆圈中的数是67．

（2）图10中所有圆圈中的数共有1+2+3+…+12==78（个），其中23个负数，1个0，54个正数.

故图10中所有圆圈中数字的绝对值之和为

|-23|+|-22|+…+|-1|+|0|+|1|+|2|+…+|54|

=（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）

=276+1 485=1 761.

填数的方法还有很多，希望同学们自己多动脑筋去总结归纳.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文