力学中三个疑难问题解析

布永利

一、静摩擦、滑动摩擦和滚动摩擦的区别

中学课本上谈到的摩擦有三种：静摩擦、滑动摩擦和滚动摩擦，但静摩擦和滑动摩擦分别对应静摩擦力和滑动摩擦力，而滚动摩擦没有“滚动摩擦力”这个概念，这是为什么？静摩擦、滑动摩擦和滚动摩擦有什么区别呢？

笔者的理解如下：

如图1，静摩擦其实是“同对同”的情况，即两个物体的接触面都保持不变．

如图2，滑动摩擦其实是“同对不同”的情况，即物体在滑动过程中，其中一个物体的接触面是不变的，而另一个物体的接触面在时刻变化．

如图3，滚动摩擦其实是“不同对不同”的情况，亦即在滚动过程中，两个物体的接触面都是变化的．

从力的分类来说，摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力，没有滚动摩擦力.对物体的滚动（无滑滚动）起阻碍作用的是力矩而不是力.阻力矩是由于小球与支承面的形变和运动情况产生的.这里的形变有四种：支承面和小球都发生形变；支承面形变而小球不发生形变；支承面不发生形变而小球发生形变以及支承面和小球都不发生形变（刚体）.第四种情况（刚体）是不存在的，前三种情况中通常出现的是第一种.

为了便于研究，我们首先讨论第二种——支承面形变而小球不发生形变的情况.

小球静止在水平支承面上时受到的重力G与支持力N在同一竖直线上（图4甲），当小球向前滚动时，小球向前与前方凸起发生碰撞，支承点前移到P′，受到支承面的作用力增大为N′，N′产生两个效果，一个是竖直方向的N与G抗衡，一个是静摩擦力f阻碍小球的滑动（图4乙）.重力G与竖直方向的支持力N的力偶矩为小球的滚动的阻力矩，设P′偏离重力作用线的距离为δ，则小球滚动的阻力矩为：M阻＝δN．

对于第三种情况——支承面不发生形变而小球发生形变时，设小球的半径为r、形变角（形变部分的弧所对的圆心角）为2θ（如图5），则小球滚动的阻力矩为：M阻＝Gｒｓｉｎθ＝δN．

上述结果跟第二种情况结果一样.可见，尽管第一种情况很复杂，但是由于它介于第二、三种之间，根据“两边夹法则”，必定得到相同的结论，即M阻＝δN．

由于力矩M阻对小球的滚动起阻碍作用，相当于作用于球心一个与质心运动方向相反的阻力，这个力就是“滚动摩擦力”，其大小为：ｆ＝M阻/ｒ＝δ/ｒN.

上式中，δ叫滚动摩擦系数，它具有长度的量纲，和接触面的材料强度、粗糙程度、湿度以及小球滚动速度等因素有关,并可由实验测出来.

从以上研究可知，一物体在另一物体表面做无滑滚动或有滚动的趋势时，由于两物体在接触部分受压发生形变而产生的对滚动的阻碍作用，叫“滚动摩擦”.滚动摩擦一般用阻力矩来量度，其力的大小与物体的性质、表面的形状以及滚动物体的重量有关.滚动摩擦实际上是一种阻碍滚动的力矩.物体滚动时，接触面一直在变化着，物体所受的摩擦力，称为“滚动摩擦力”.“滚动摩擦力”跟“惯性力”一样，不是真正意义上的力，而是相当于作用于质心的阻力.中学物理教材回避了这类问题，现行初中教材中说“以滚动代替滑动可以减小摩擦”，实际上就是将f=δ/r•N与f=μN中的系数δ/r和μ大小比较而言的，并不是比较力的大小.比如，对于“木材－钢球”，δ在0.03～0.04之间，如果钢球半径是2cm，则δ/r的值在0.015~0.02之间，而“木材－钢块”间的滑动摩擦系数μ为0.3～0.4，显然δ/r远小于μ．

二、验证动量守恒定律实验中实验结果异常的原因分析

按图6装置进行这一学生实验的教学时，发现了异常的实验现象：实验结果都是碰后的动量p′大于碰前的动量p，并且相对误差都大于5％，有些甚至大于10％．可见这里存在一种系统误差，表面上理解，把被碰小球放在轨道上，由于摩擦，碰后的动量p′应小于碰前的动量ｐ．这种系统误差是怎样产生的呢?导致异常的实验现象的原因何在？

实验现象的解释：在斜槽上，入射小球受到重力G、支持力F璑和静摩擦力F璮作用(如图7)，做加速滚动而不打滑，小球运动到水平轨道上做匀速滚动，静摩擦力变为零．小球平动速度v₁、转动角速度ω和半径r之间的关系是v₁=ωr．入射小球与被碰小球碰撞后，平均速度突然减小为v′1，而角速度ω不变，这样就有v₁′<ωr.入射小球与轨道的接触点相对轨道向后滑动，从而受到轨道对它向前的滑动摩擦力F1作用，如图8所示．在F1的作用下，入射小球的转动角速度减小，平动速度增大，动量也增大，这就是两球组成的系统碰后的动量大于碰撞前的动量原因．