数形结合思想及其应用

甘芝活

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“形”与“数”两个方面.“形”与“数”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系.在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应的关系，使得数量关系的研究可以转化为图形性质的研究；反之，也可以使图形性质的研究转化为数量关系的研究.这种数学问题过程中“形”与“数”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.所以，本文着重于“数”到“形”的转化及应用，拟从以下六个具体方面展开：1.在研究集合关系中的应用；2．在研究函数的性质中的应用；3．在研究不等式中的应用；4．在研究解析几何中的应用；5.在研究方程的根的应用；6.在研究平面向量中的应用.

一、数形结合思想在研究集合关系中的应用

集合是现代数学的一个重要概念，是现代数学的基础，在研究集合时，可以用数轴、韦恩图等表示集合，正是在这种条件下，使得我们在研究集合时，可以用数形结合的思想解决有关的问题.

【例1】 巳知A={x｜｜x-a｜<4},B={x｜｜x-2｜>3}，且A∪B=R，求a的取值范围.

分析：本题宜对集合A，B进行化简，然后，借助数轴的直观，再将问题转化即可获解.

解：A={x｜a-45},欲使A∪B=R，作一数轴如图1所示：