二次不等式的解题探究

田　达

二次函数、二次方程、二次不等式的关系是互相联系密不可分，同时也是高考数学科命题的热点内容之一.以三个“二次”为载体考察函数有关问题的代数推理大题时有所见.需要我们认真研究并体会三者的内在关系、包含的数学思想以及相应的数学本质.下面我们重点对涉及二次不等式的有关问题进探讨并予以归纳.

1.直接利用概念、性质类

此类问题只要熟悉相关概念、性质，一般比较简单.如：

【例1】 二次函数y=ax²+bx+c(x∈R)部分对应值如下表：

则求不等式ax²+bx+c＞0的解集.

分析：（1）从二次函数的角度：只要求出函数关系式，利用相应性质非常简单就可以解决问题.这样本题就转化为求二次函数的解析式.思路有三，其一设一般式y=ax²+bx+c用待定系数法.其二顶点式，顶点(p，h)，可设关系式y=a(x-p)²+h再根据题设条件求出a即可.其三交点式，(x₁，0)，(x₂，0)设函数式为y=a（x-x₁）(x-x₂)，求出a即可．

（2）直接利用二次不等式解集定理，只需要知道函数与轴x交点及a的符号既可求解过程略.

2.等价转化类：

解决此类问题一要抓住问题的实质(包括隐含条件)，选择适当的方法，当然也包括一些简单技巧的应用.下面通过两个简单例子说明：

【例2】 已知关于x的不等式x>ax²+3/2的解集为：{x｜4

分析：本题考察不等式的解与方程根之间关系，注意题目特点x与x存在一种二次关系.可采用换元解决，设x=t(2at²+3/2,这样本题成为关于t的二次不等式.过程略.

【例3】 已知不等式x²+px+1>2x+p.

(1)若不等式在｜p｜≤2时恒成立，求x的范围.

(2)若不等式在2≤x≤4时恒成立，求p的范围.

分析：此题含有两个参数的不等式问题不能按常规处理，否则有可能使求解复杂化.解决关键是确定好不等式中的主变量，然后以主变量为出发点，选择适当解法．一般地确定主变量原则是：题目范围确定的量应视为主变量，另一个看成常数.据此第(1)个问题看成关于p的不等式，(2)问反之.

解析:(1)原不等式可化为(x-1)p+x²-2x+1>0.

令f(p)=(x-1)p+x²-2x+1,则为线性函数(x=1显然不成立)，因而有：

f(-2)>0且f(2)＞0,即(x-1)(-2)+x²-2x+1>0,且(x-1)•2+x²-2x+1>0.

解之得x>3或x<-1.

(2)原式可化为(x-1)p＞x²+2x-1,

又∵2≤x≤4,

∴p＞(-x²+2x-1)/(x-1)=1-x,即﹑＞(1-x)﹎ax=-1.

3.综和类

解决此类问题需要有较高的数学素养，熟练掌握函数的性质，灵活应用一些解题技巧以及相关数学思想.

【例4】 函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点(-1，0)，是否存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤x²+12对一切实数x都成立?