巧用整数解 妙解竞赛题

宋联初

整数解问题在数学竞赛中一直是个热点，它将古老的整数理论与整式性质、方程知识、平面几何及函数有机结合，涉及范围广，方法灵活，综合性强，题型多变，难度大.但其解法仍然是有章可循的，本文就这类问题的解法用实例加以说明.

1.整数与代数式

【例1】 若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是______.

解析：设100a+64=m²，201a+64=n²，则32≤m，n<100，两式相减得整理得101a=n²-m²=（n+m）•（n-m）,因为101是质数，且m+n<200,n-m≠101,所以n+m=101,故a=n-m=2n-101.代入201a+64=n²,整理得n²-402n+20237=0,解得n=59,或n=343（舍去）.所以a=2n-101=17.

评析：本例巧妙地利用参数m、n来解决，引入参数m、n使问题明朗化，代数式的性质直接用数量关系表示了，利用整数理论逐步转化了数量关系，使问题得到解决.

2.整数解与方程

（1）分解因式法

【例2】 设关于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

解析：（k-2）（k-4）x²+（2k²-6k-4）x+（k-2）•（k+2）=0.

分解因式得［（k-2）x+k+2］［（k-4）x+k-2］=0.