运用启发手段 发展学生的思维能力

柏义伟　陶安强

【案例背景】

“生活中的推理”是小学数学三年级上册教材（北师大版）的内容。

课改初期，面对这一全新的教学内容，教师们尝试着改进自己的教学行为，从课题所应达成的知识性目标切入，以帮助学生学会用“表格法”进行数学推理为中心展开教学。但渐渐地，教师们发现虽然课堂上学生学会了如何填表，但学生在之后遇到相似问题时，仍不会自己想办法解决，尤其是在没有表格的情况下对如何进行数学推理更是无从下手。

由此可见，当前教师教学行为的改进，相对于课改的要求来说，还远远不够。

面对新课改，教师到底该如何发挥自己的作用，帮助学生进行深度思考与探究呢？一节观摩课为我们研究上述问题提供了一个交流的平台。

【案例描述】

一、 情境与问题

配合动画的出现，教师在屏幕上呈现了下面的信息。

学校组织了篮球、乒乓球和航模兴趣小组，淘气、笑笑和小明分别参加了其中的一项。

笑笑：我不喜欢乒乓球；

淘气：我喜欢篮球；

小明：我不是航模小组的。

笑笑、淘气和小明分别参加了什么兴趣小组？

二、 探究与交流

师：请小朋友们仔细想一想，在小组内互相说一说，他们分别参加了什么兴趣小组？

大约两分钟后，教师组织汇报交流。

生：淘气参加了篮球小组，笑笑参加了航模小组，小明参加了乒乓球小组。

师：你们是怎么知道的？谁能说一说是怎么想的？

生：淘气喜欢篮球，参加的是篮球兴趣小组；笑笑不喜欢乒乓球，参加的是篮球或航模小组；淘气参加了篮球兴趣小组，所以笑笑参加的只能是航模小组；小明不是航模小组的，那就是乒乓球小组或篮球小组的；淘气参加了篮球小组，所以小明参加的只能是乒乓球小组。

师：你们和××同学的想法一样吗？

学生齐声回答“一样”。

师：那么，怎样才能记住我们的想法呢？

生1：画图。

生2：记下来。

下面请小朋友用自己喜欢的方式，把你的想法记下来。

大约两分钟后，教师组织交流。

教师通过屏幕展示学生的记法，如表一。

三、梳理与抽象

教师在屏幕上呈现表二，引导学生填写：淘气喜欢篮球，参加的是篮球小组，要在这个位置（空白处第一行中间位置，教师用鼠标点击指引）记下来。请小朋友想一想，我们可以用哪个符号记下来？

生：可以在格子里画“√”记下来。

师：因为他们分别参加了其中的一项，淘气已经参加了篮球小组，乒乓球小组和航模小组就不能再参加了，这两个格（空白处第一行1、3格）里应该记哪一个符号？

生：应该记“×”。

师：淘气已经参加了篮球小组，笑笑和小明就不能再参加篮球小组了，要在这两个格里（空白处第二列2、3格）记什么符号？

生：在方格里画“×”。

如此填完整个表格。

【分析与反思】

一、教学优点

本课主要有以下两个突出的亮点。

1.教学目标定位合理

仔细分析课堂教学，我们不难发现，教师不仅能够引导学生“在经历探究具体情境、解决简单数学问题的过程的基础上，帮助学生理解并掌握在表格中进行推理的方法”，更重要的是还能引导学生“经历表格方法产生的必要性”。对于初次学习推理的三年级学生而言，上述目标的定位是准确的，符合数学教学的基本规律与课题本身的特殊性要求，既保证了学生数学知识与技能的获得，也培养、发展了学生的数学思维能力。

2.教学过程自然流畅

上面教学案例是沿着“情境与问题——探究与交流——梳理与抽象——巩固与应用”的程序自然展开的。它以学生喜闻乐见的形式对教材情境进行了动态化处理，发挥了多媒体辅助教学的优势；它借助学生的生活经验，引导学生对问题进行探究，确保了学生主体地位的落实；它在“怎样才能把‘谁参加的是什么兴趣小组记下来”的问题引领下，自然地引出表格方法，实现了以数学方法为依托提升学生认知的教学要求；它以“淘气参加的是篮球兴趣小组”为突破口，梳理表格填写方法，巩固新的认知，使基础知识与技能的获得得以落实。

二、教学不足

1.表格方法进行数学推理的优越性没有得到有效的梳理与提炼

用表格方法解决面临的现实问题，在数学推理中具有重要作用。这一课的教学目标之一，就是要使学生在今后遇到类似问题时能够自觉地运用表格方法进行数学推理。而这一目标的达成，必须以对这一方法的深入理解为基础，而理解的前提是对其优越性的充分认识。由于表格是以静态形式呈现的，在学生的记法（表一）与教师的记法（表二）之间始终有一个空白，只有填补这个空白，才能展现用表格方法进行数学推理的优越性。

2.表格填写过程中对数学思想方法的引导重视不够

数学教学的核心目标是培养学生的思维能力，落实在本课教学上，就是要培养学生的数学推理能力。那么，数学推理能力由哪几方面组成呢？

首先，我们将想法记在表格中的过程，就是在表格中确定位置、寻找横向与纵向“对应”关系的过程；其次，我们用“√”或“×”记录的过程，就是将“符号”思想运用于判断推理的过程；再次，“对应”关系的判断与符号记录，又必须以在联想之上进行“排除”为保证。

因此，“对应、符号、排除”等数学思想与方法，是推理能力的重要组成部分。课例中，学生虽然也经历了表格的填写过程，但由于这一过程是在“—问—答”的环境下进行的，问题具有较为明显的指向性，因而，“对应、符号、排除”等数学方法未能以学生“想到办法”为基础，也未能从“为什么”层面上将探究引向深入。

三、改进策略

上述问题的存在，暴露出教师在如何利用启发手段帮助学生进一步思考方面的经验不足。那么，该如何改进教学呢？

1.对比中思考

首先，动态地将学生的记法（表一）抽象为教师的方法（表二），即将表一中的“姓名”一行转换为表二中的“列”，并随之画出纵向与横向的表格线，形成表格的整个框架。在多媒体环境下这是能够做到的。

然后，对比表一和表二，引导学生明确：表二中每个学生都有三个可供选择的兴趣小组，每个兴趣小组也都有三个可供选择的学生；与表二不同，表一中的每个同学与每个兴趣小组是一一对应的，这只是最后的结果，不能体现推理的过程。

最后，引导学生进一步明确：在表二中，我们可以把开始是怎么想的，后来又是怎么想的，一直到最后知道了哪个同学参加的是哪个兴趣小组，从头到尾记录下来，其实，这就是用表格方法进行数学推理的优越性。

2.启发中思考

首先，引发学生的认知冲突。怎样才能把我们的想法记在表格中呢？你是怎么知道笑笑参加的是航模小组，淘气参加的是篮球小组，小明参加的是乒乓球小组的？通过对解决问题过程的再次表述，从而产生用“对应”、“符号”、“排除”等数学方法进行记录的必要性。

其次，对应方法的启发思考。从三条信息中我们可以判断，淘气参加的是篮球小组，那么我们要把淘气参加的篮球小组记在表格中的什么位置呢？在学生表述想法的基础上，教师将“篮球”二字填写在正确位置中，并明确地告诉学生：淘气参加的篮球小组要填写在表格中的这个位置。

再次，符号方法的启发思考。你们是不是觉得在表格中写字太慢又不太方便？有没有一个好的办法呢？引导学生想到可以用画“√”来代替。

最后，排除方法的启发思考。我们已经知道，淘气参加了篮球小组，那么笑笑和小明就不能再参加篮球小组，淘气也不能再参加航模和乒乓球小组了，并在表格相应的位置画“×”。□

（作者单位：柏义伟 山东省宁阳县教科研中心；陶安强山东省宁阳县伏山镇中心小学）

编辑 杜 锐