例谈方程在几何计算中的应用

赵振昆

几何图形的计算问题，一般以求角度和线段长度最为常见，方法也很多，如用方程、三角函数、相似三角形成比例的线段，结合几何中的重要定理，其中用方程求解是常用的数学方法．其灵活地设未知量求值是同学们应掌握的基本方法，同时应用也较广泛，它是数形结合的重要内容之一．下面笔者就方程在几何计算中的应用，列举几例加以说明，仅供参考.

例1如图１，若2∠3＝3∠1，求∠2、∠3、∠4的度数．

解：由题意可知： 2∠3＝3∠1， ①∠1+∠3＝180°．②

说明：这里将∠1和∠3看做两个未知量，列出方程组，从而得解.同学们要抓住图形的特点，找出已知量和未知量的关系，树立一种用方程解决问题的思想.

例2一个长方形的周长为26 cm，若它的长减少1 cm，宽增加2 cm，就变成了一个正方形，求它的长和宽各是多少，并求出它的面积S是多少.

解：设长方形的长为ｘ cm，宽为ｙ cm，则可得方程组2（x+y）=26，x-1=y+2．

整理得x+y=13，x-y=3．解得x=8，y=5．

∴长方形的长为8 cm，宽为5 cm，面积S＝40 cm２．

例3如图２，在等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6 cm和15 cm两部分，求此三角形的底边长是多少.

点拨：本题关键是对中线把三角形的周长分为两部分的理解，应仔细审题.题目中两部分是指（AB+AD）一部分，另一部分是指（DC+BC）,因为AD=DC，可将AB与AD当做两个未知量列方程组，更重要的是本题要分两种情况考虑．

解：（1）AB+AD=6，DC+BC=15．解得AB=AC=4，BC=11．

因为AB+AC=8＜11，所以此种情况不成立.

（2） AB+AD=15，DC+BC=6． 解得AB=AC=10，BC=4．

因为AB+AC＞4，所以底边长为4 cm．

说明：分类讨论是一种很重要的数学思想，它有助于培养学生养成严谨的思维习惯，对所得结果进行辨析，筛选出科学的结论，避免出现鱼目混珠的现象.在做此类型习题时一定要认真审题，仔细考虑.

例4如图３，长方形的长10 cm，宽6 cm，将长方形折叠，使C与A重合，求折痕EF的长.（结果保留一位小数）

分析：由折图易证:AF=FC=AE,DE=D′E=BF=NC．EF的长可通过Rt△EFN求出，但关键是求FN的长，可先利用Rt△ABF并由勾股定理AB2+BF2=AF2,求出BF的长，从而求出EF的长.

解：设BF＝ｘ cm，则AF＝（10-ｘ）cm．

在Rt△ABF中，由勾股定理得62+ｘ=（10-ｘ2），解得ｘ=3.2（cm），即BF=3.2 cm．

∴FC=6.8 cm．

∴DE=NC=3.2 cm．

∴FN=FC-NC=3.6 cm．

在Rt△EFN中，由勾股定理得

说明:例4是折纸问题的计算问题,目前在以新课标为指导思想的教材中是比较流行的题目,解题时要善于捕捉问题中的等量关系,通过方程解决未知的量.当然本题还可有其他解法，不同的思路，请读者继续探究.

综上所述，几何图形的计算，未知量有的是角度，有的是线段的长度，用方程帮助求解是一种基本方法，但不是唯一方法，要根据图形的特点，所给条件，因题而异．请读者灵活地运用基础知识，提高自己的解题能力.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文