相似解题真巧妙

张玖辉　孙莉红

相似形及其性质在初中数学中有着举足轻重的地位．那么，利用相似究竟可以解决哪些问题呢？

一、证明两条直线平行

例1 如图1，已知A、C、E和B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥DE，BC∥EF.求证：AF∥CD.

证明：∵ AB∥DE，

∴ △OAB∽△OED，=.

∵ BC∥EF，

∴ △OBC∽△OFE，=．

∴ OA·OD=OE·OB=OC·OF.

∴ =．

又因∠O为△OAF与△OCD的公共角，故△OAF∽△OCD，AF∥CD．

二、证明线段间关系

证形如+=1这类问题的解题思路，一般是利用：线段所分成的两条线段与原线段的比的和为1.

例2 如图2，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D．连接AD、BC，它们交于E.作EF⊥BD于F.求证：+=.

证明：∵ AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴ AB∥EF∥CD.

∴ =，=．

∴ +=+＝=1．

∴ 整理可得+=.

三、证明线段相等

此类问题证明的思路大致有四种：①由=1⇒a=b；②由=⇒a=c；③由=，b=d⇒a=c；④由=，a=c⇒b=d.

例3 如图3，AD为△ABC的角平分线．BF垂直于直线AD，垂足为F．AM⊥AD于A，交BC的延长线于M．FC的延长线交AM于E，求证：AE=EM.

证明：延长BF，交AC的延长线于N，如图4.

∵ AF⊥BF，AD是△ABC的角平分线，

∴ △ABF≌△ANF（ASA）.BF=FN．

易知BN∥AM，故△BCF∽△MCE，△CFN∽△CEA．

∴ =，=. 从而=.

因BF＝FN，故EM=AE．即AE＝EM．

四、证明两直线垂直

例4 如图5，M为正方形ABCD的边AB上一点．BP⊥CM于P. N为BC上一点，且BM=BN.求证：PD⊥PN．

证明：因BP⊥CM，易证△MBP∽△BCP． 所以有=.

∵ BM=BN，BC=CD， ∴ =．

∵ ∠PBC+∠BCP=90°，∠DCP+∠BCP=90°，

∴ ∠PBC＝∠DCP，即∠PBN=∠DCP.

∴ △PBN∽△PCD.∠DPC=∠BPN．

∵ ∠BPN＋∠NPC=90°，∴ ∠DPC+∠NPC=90°.PD⊥PN.

五、证明角相等

例5 如图6，四边形ABCD中，对角线交于O点，若∠BAC=∠CDB，求证：∠DAC=∠CBD.

证明：∵ ∠BAC=∠CDB，∠AOB=∠DOC，

∴ △AOB∽△DOC.

∴ =．

又∵ ∠AOD=∠BOC,

∴ △AOD∽△BOC.从而∠DAC=∠CBD.

六、证明与线段平方比有关的问题

此类问题的证明思路一般有：①利用相似三角形面积的比；②若证=，只须证=，=，两式相乘即可.

例6 如图7，△ABC中，D为BC上一点，且∠DAC=∠B，求证：=．

证明：∵ ∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴ △CAD∽△CBA．

∴ =（相似三角形面积之比等于相似比的平方）．

又∵ =（等高的两个三角形面积的比等于两底的比），

∴ =．

七、解决实际问题

例7 有一块直角三角形不锈钢片ABC，如图8，∠C=90°，AB=5 cm，BC=3 cm.试设计一种方案，用这块不锈钢片剪裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这个正方形不锈钢片的边长.

解：有如下两种剪裁方案：①正方形一边落在斜边AB上.②正方形两边分别落在△ABC两直角边上.下面比较哪种方案剪裁出的正方形面积更大．

方案①：如图9，设正方形为EFGH，其边长为x cm.又设CD为AB边上的高，CD交EH于点M.

由勾股定理得AC=4 cm.

∵ CD·AB=AC·BC=2S△ABC， ∴ CD= cm．

因EH∥AB，△CEH∽△CAB，故=，即=.解得x=.

方案②：如图10，设正方形为CDEF，其边长为y cm.易知AC＝4 cm．因EF∥AC，△BEF∽△BAC，

∴ =，=.解得y=.

∵ x=，y=，＞，

∴ 应选方案②，这时正方形不锈钢片的边长为 cm.