降次思想在求值中的应用

王安海

对于求某些高次代数式的值，我们一般是采取灵巧变形来求解，但此法太灵活，以致不好把握.这里介绍一种简便易行的解法——降次法．

一、什么是降次式

形如x2=ax+b的式子称为降次式，它可把高次式逐步转化为一次式或常数，从而达到降次的目的.

二、怎样得到降次式

方法1：移项.如由x2－5x+4=0移项，可得降次式x2=5x－4.

方法2：去分母.如由a－=-1，可知a≠0，两边同乘以a得a2－1=-a，再移项得降次式a2=-a+1.

方法3：平方去根号.如由x=，可得2x=+1.故2x-1=.两边平方，得4x2－4x+1=5.再整理得x2=x+1.

三、如何运用降次式

例1 若a2－3a+1=0，求的值.

解：由a2－3a+1=0，得a2=3a-1.

∴ a3=a2·a=（3a－1）·a=3a2－a=3（3a－1）－a=8a－3.

a6=（a3）2=（8a－3）2=64a2－48a+9=64（3a－1）－48a+9=144a－55.

∴ ===.

例2 已知x=，求2x4+3x3+2 007的值.

解：由x=，知2x+1=.两边平方、整理，得x2=1－x.

∴ x3=x2·x=（1－x）·x=x－x2=x－（1－x）=2x－1.

x4=x3·x=（2x－1）·x=2x2－x=2（1－x）－x=2－3x.

∴ 2x4＋3x3+2 007=2（2－3x）+3（2x－1）+2 007=2 008.

由此可见，用降次法求高次代数式的值远比灵活变换求值要“实用”得多.根据所给条件得到降次式是解决此类问题的关键．此法新颖别致，应用广泛，望同学们细心体会.