《相似图形》复习指导

郑洁芳

一、重点和难点

1. 重点：成比例线段、黄金分割的定义，相似多边形、相似三角形以及位似图形的判别方法和性质．

2. 难点：线段成比例问题，正确找出相似三角形的对应元素，灵活选择不同的判定方法和性质解决相似三角形的相关问题和实际应用问题．

二、知识精析

1. 正确理解比例的性质：①若=，则ad=bc；②若=，则b2=ac；③若=＝…＝，且b＋d＋…＋n≠0，则=＝…＝＝．

2. 在理解相似多边形时，应注意：①两个边数不相同的多边形一定不相似；②两个边数相同的多边形，必须同时具备对应角相等、对应边成比例这两个条件时才能相似.

3. 相似三角形：

（1）定义 三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.

（2）判定方法 除掌握课本上介绍的三种判定方法外，还应注意以下事实（它们在解有关的选择题、填空题时可直接应用）：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.

（3）性质 对应角相等，对应边成比例；对应高、对应中线、对应角平分线以及周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方.

（4）应用 利用相似三角形的有关性质测量、计算那些不易直接测量的物体的宽度或高度.

4. 黄金分割：若点C将线段AB分成AC和BC，且=时，则点C称为线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．这时，AC∶AB=∶1≈0.618∶1，即AC≈0.618AB或AC=

AB.

5. 位似图形：这是特殊的相似图形（每组对应点所在的直线都经过同一个点——位似中心），具有相似图形的所有性质．利用位似的方法可以将一个图形放大或缩小．需要注意的是，确定一个图形的位似图形的位置的主要因素是位似中心和位似比．画一个图形的位似图形，关键在于画出图形上的特殊点经过位似变换后的对应点，然后顺次连接这些对应点即可得到位似图形.

6. 思想方法：领悟并掌握类比、转化、数形结合、一般到特殊以及分类讨论的思想方法.

三、解题技巧

例1 如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，AC与BD相交于点E，AE=2，CE=4，求AB的长.

解析：由AB=AD，有∠ABD=∠ADB．又易知∠ABD=∠ACD，所以∠ADB=∠ACD．从而△ADE∽△ACD，=，即AD2=AC·AE=（2+4）×2=12，故AB=AD==2．

评注：利用相似形求线段的长是解题中常用的方法．本题中成比例线段和相似形较多，关键是根据条件，选择合适的相似三角形．

例2 如图2，在一个3×5的单位正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请你在图中画一个△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC（相似比不为1），而且点A′、 B′、 C′都在小正方形的顶点上.

解析：由图中信息知∠ABC=135°，AB∶BC=1∶．由此可知，所画三角形也必有一角为135°，且夹该角的两边之比为1∶（也可以把这一比值看作∶2或2∶2等）．以此为突破口，在图中连出长为和2，2和2，和的线段，即得△DEA∽△AMN∽△DGF∽△ABC（如图3所示）.

评注：在判定三角形相似时，要灵活应用判定方法．本题若运用“两角对应相等的两个三角形相似”，则解题过程较复杂.

例3 如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（）．

A． B． 2C． D．

解析：由于PE＋PF的值是确定的，可采用特殊点法求．为此可将点P移到点D位置，过D作DQ⊥AC于Q（如图5），则PE＋PF＝DQ．易证Rt△ADQ∽Rt△ACD，故＝，即DQ＝＝．所以PE＋PF＝DQ＝．故应选A．

评注：本题也可利用△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，先求出AP和DP（分别以PE、PF表示），然后利用AP ＋ DP＝4求解．

例4 如图6，已知▱ABCD中，＝．

（1）求△AEF与△CDF的周长之比；

（2）如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF ．

解析：（1）由＝，知＝．又由平行四边形性质知AB＝CD，所以＝＝．由AB∥CD知△AEF∽△CDF，所以，△AEF的周长∶△CDF的周长＝AE∶CD＝1∶3．

（2）由△AEF∽△CDF，有S△AEF ∶ S△CDF＝1 ∶ 9．又S△AEF＝6 cm2，所以S△CDF＝6×9＝54（cm2）．

评注：本题在求相似比时，通过运用平行四边形的特性巧妙地把线段的比转化成相似三角形对应边的比．

例5 如图7，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝4 cm．点Q与P同时分别从B、C两点开始向C、A两点作直线运动，速度分别为1 cm ／ s和2 cm ／ s，问：经过多长时间后△CPQ与△ABC相似？

解析：设x s后△CPQ与△ABC相似，则CQ＝（4－x） cm，CP＝2x cm．因∠C＝90°为公共角，故△CPQ与△ABC相似应分两种情况：

（1）若PQ∥AB，则有△CPQ∽△CAB，这时＝，

所以＝，解得x＝2．

（2）当∠CAB＝∠CQP时，则有△CPQ∽△CBA，＝，所以＝，解得x＝．

因为整个运动过程历时4 s，故上面两种情况均能出现．

∴ 经过2 s或 s后△CPQ与△ABC相似．

评注：本题运用了方程思想和分类讨论思想．当有关量不能直接计算时，可设未知数，列方程（组）求解；当相似图形的对应关系不确定时，应进行分类讨论．

四、易错点直击

1． 混淆对应关系出错．

例6 如图8，小亮同学某天晚上由路灯A走向路灯B，当他走到P点时，发现他的影子的最前端正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A为25 m，离路灯B为5 m．如果小亮的身高DP为1．6 m，那么路灯A的高度CA为（）．

A． 6．4 m B． 8 m C． 9．6 mD． 11．2 m

错解：由题设有∠A＝∠DPB＝90°，又∠DBP＝∠CBA，所以△BDP∽△BCA，故＝，即＝．解得CA＝8 m，故应选B．

剖析：本题的错误出在＝上．当△BDP∽△BCA时，BP的对应边应该是BA，而不是PA．

正解：由△BDP∽△BCA，有＝，即＝．解得CA＝9．6 m，故应选C．

2． 性质应用不当出错．

例7 如图9，△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，求：（1）AE∶EC；（2）S△ADE∶S△CDE．

错解：（1）由DE∥BC，有△ADE∽△ABC，所以 ＝

2＝，＝．于是＝2．

（2）由＝2，有＝

2＝4．

剖析：（2）中由于△ADE与△CDE不一定相似，故不能运用＝

2来计算．

正解：（1）同上．

（2）如图10，过点D作DF⊥AC于F，则S△ADE＝DF·AE，S△CDE＝DF·EC．故 ＝＝2，即为所求．

五、相关中考题链接

1． （宁波市）如图11，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3．已知AB＝4，则DE的长是（）．

A． 6 B． 5 C． 9D．

2． （陕西）如图12，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上．∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P有（）个．

A． 0 B． 1C． 2 D． 3

3． （枣庄市）如图13，路灯高8 m．身高1．6 m的小明从距离路灯的底部（点O）20 m的点A处，沿AO所在直线行走14 m到达点B处，这时人影BN的长度较原来人影AM的长度（）．

A． 增加3．5 mB． 增加2．5 mC． 缩短3．5 mD． 缩短2．5 m

4． （锦州市）点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．满足这样条件的直线最多可以作 条．

5． （河南）要拼出和图14中的菱形相似且较长对角线长为88 cm的大菱形（如图15所示），需要图14中的菱形个．

6． （乐山市）如图16，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点．能否在AB上找到点N（不包括A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．

7． （内江市）如图17，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点．顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．连接AC、BD．

（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变．通过探索可以发现：

当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为菱形；

当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为矩形；

当四边形ABCD的对角线满足时，四边形EFGH为正方形．

（2）探索△AEH、△CFG与四边形ABCD的面积之间的关系．请写出你发现的结论，并加以证明．

（3）如果四边形ABCD的面积为2，试求中点四边形EFGH的面积．

相关中考题链接参考答案

1． A2． C3． C4． 45． 1216． 当AN＝a时，△CDM∽△MAN．证明略． 7． （1）AC＝BD AC⊥BD AC⊥BD且AC＝BD （2）S△AEH＋S△CFG＝S[四边形]ABCD ．证明：在△ABD中，EH∥BD且EH＝BD， 故△AEH∽△ABD， ＝

2＝．即S△AEH＝S△ABD ．同理可证S△CFG＝S△CBD ． 所以S△AEH＋S△CFG＝（S△ABD＋S△CBD）＝S[四边形]ABCD ．（3）由（2）的结论，S△AEH＋S△CFG＝S[四边形]ABCD．同理也有S△BEF＋S△DHG＝S[四边形]ABCD．于是S[四边形]EFGH＝S[四边形]ABCD ＝1．