《分式》复习指导

吕前桂

一、重点和难点

1. 重点：正确认识和掌握分式的有关概念及性质，熟练地进行分式的四则运算.

2. 难点：异分母分式加减运算的准确性，分式方程的解法以及分式知识在解决实际问题中的应用.

二、知识精析

1. 对分式的概念，要注意三点：①分式是形如的式子，其中A、B是整式；②分母B中含有字母（这是分式与分数的根本区别）；③分母B的值不能是0，否则分式没有意义.

2. 分式的基本性质：=，=（M是不为0的整式）．它是分式运算的重要依据，要熟练掌握，灵活运用.

3. 分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，用式子表示就是：==－=-.

4. 分式的约分与通分.

约分的关键是确定分子和分母的公因式．当分子、分母的系数是整数时，约去它们的最大公约数；约去分子、分母中相同因式的最低次幂．约分后的结果应是最简分式或整式.

通分的关键是确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积），然后根据分式的基本性质，将异分母分式化成同分母分式.

5. 分式的除法可化为乘法，减法可化为加法．这是数学上常用的转化思想.

6. 解分式方程要注意两点：一是把分式方程转化为整式方程；二是验根.转化的方法是在方程两边同乘以各分式的最简公分母；解得的根要代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的根是增根，应舍去.

7. 对于应用问题，要抓住可用分式表示等量关系这一点，仔细分析各种量之间的关系，灵活设未知数．还要注意，所求方程的解要符合实际.

8. 注意数学思想的运用．对分式的学习，要善于类比分数的有关知识．类比思想是探究数学问题、学习数学知识的一种重要的思想方法.

三、解题技巧

例1 x取什么值时，的值为0？

解析：依题意，有x-4=0，

x+4≠0，得x=±4，

x≠－4.所以x=4时，原式的值为0.

评注：求解此类问题时，可构造方程和不等式．分别求出它们的解或解集，再确定它们的公共部分.

例2 有一道题“先化简，再求值：

+

÷，其中x=-”，小玲做题时把“x=-”错抄成“x=”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事.

解析：原式=·（x2-4）=x2+4．因为当x=-或x＝时，x2的值均为3，原式的值都为7，所以把“x=-”错抄成“x=”，其计算结果仍是正确的.

评注：本题要求探索外表中所隐藏的本质特性．探索的途径是细心演算，看原式化简的最终结果是什么，然后从中寻找原因.

例3 已知x+=2，求的值.

解析：将已知等式两边平方，得x+

2=4，即x2+=2.所以，原式=x2+1+=2+1=3.

评注：本题的关键是根据求值式的特点，逆向思考．将所求分式分拆为x2+1+，然后由已知条件求出x2+=2，整体代入求值.

例4 若关于x的方程＝＋2无解，则m的值是 ．

解析：由于原方程无解，所以此方程有增根x=3.将原方程去分母、化简，整理得m+x-4=0.再将x=3代入其中，求得m=1.

评注：本题根据分式方程的增根使其最简公分母的值为0这一特性，巧妙求出了m的值.

例5 若-=3，则分式的值为（）.

A. B. -C.D. 1

解析：由已知得x-y=-3xy.所以，原式===.应选C．

评注：根据求值式和已知条件的特点，采用整体代入法求值，这在分式求值中经常应用.

例6 某人原计划完成加工15个机器零件的任务，由于改进加工技术，实际加工的效率提高到原来加工效率的1.2倍，结果提前半小时完成任务．求实际加工的效率.

解析：设原来加工的效率为x个/ h，则实际加工的效率为1.2x个/ h．由题意得：=+，解得x=5.经检验，x=5是原方程的解.而1.2x=6，故实际加工的效率为6个/ h.

评注：不直接设出要求的未知量，而是设另一个量作为未知数，待求出这个量后再计算所求的量，这种方法称为间接设未知数法．它往往能给解题过程带来极大方便.

例7 请你编一道能用可化为一元一次方程的分式方程来解的应用题，并给出解答.

编题要求：①要联系生活实际，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程只含两个分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，能化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚.

解析：第一，由题意确定一个有实际意义的数字，如5，把它当作所编应用题的方程的一个根，并建立一个合乎题设要求的等式，如=.

第二，把上述等式中的5用未知数x来代替，变等式为分式方程，即=.

第三，根据方程编出应用题．如：甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每小时比乙多加工2个，且甲加工10个所用的时间与乙加工6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件.

第四，解答所编应用题．解答略．

评注：本题属开放型问题，其答案不唯一.

四、易错点直击

1． 不该约分时约分而出错．

例8 当x取何值时，分式无意义？

错解：==，所以，当x=2时，分式无意义.

剖析：上解错误出在约分这一步．约分约去了分子、分母的公因式，扩大了x的取值范围，从而导致错误产生.

正解：由x2-5x+6=0，有（x-2）（x-3）=0，所以x=2或x=3.故当x=2或x＝3时，分式无意义.

2． 忽视分数线的括号作用而出错.

例9 计算：-.

错解：原式==0.

剖析：运算中没有注意分数线的括号作用，导致结果错误.

正解：原式===-.

3． 没按运算顺序计算而出错.

例10 计算：÷·（x-y）.

错解：原式=÷x=.

剖析：上述解法错在先算乘法，后算除法，违背了运算顺序．在同级运算中，应按照从左到右的顺序依次进行计算．本题应先算除法，后算乘法.

正解：原式=··（x-y）=（x+y）（x-y）=x2-y2.

4． 计算时去分母出错.

例11 计算：+x+y.

错解：原式=y2+（x+y）（x-y）=y2+x2-y2=x2.

剖析：解分式方程可以去分母，但这里却将分式计算同解分式方程混为一谈．分式计算中当分母不同时，应该先通分后计算.

正解：原式=+==.

5． 符号变化时出错.

例12 计算：-a-1.

错解：原式=-===.

剖析：错误出在将“-a-1”看作分母是1的“分式”时，应写成或-，而不是-．上面的错解显然忽视了符号变化.

正解：原式=-===.

6． 错用分配律而出错.

例13 计算：÷（m-n）-

.

错解：原式=÷（m-n）-÷=-1=.

剖析：除法没有分配律，比如a÷（b+c）≠a÷b+a÷c.

正解：原式=÷

=÷

=.

7． 忽略方程可能产生增根而出错.

例14 已知关于x的方程-2=有正数解，求m的取值范围.

错解：将原方程去分母，得x-2（x-3）=m.所以x=6-m.又因为原方程有正数解，所以6-m＞0，即m＜6.

剖析：上面的解法只注意了“正数解”这一条件，而忽视了分式方程可能产生增根的特点，从而导致出错.

正解：同上解……因原方程有正数解，故6-m＞0，且6-m≠3.故m＜6且m≠3.

五、相关中考题链接

1. （天津）已知-=4，则的值为（）.

A. 6 B. -6 C. D. -

2. （黄冈市）计算-÷的结果为（）.

A. 1 B. C. D.

3. （南宁市）以下是方程-=1去分母后的结果，其中正确的是（）.

A. 2-1-x=1 B. 2-1+x=1 C. 2-1+x=2x D. 2-1-x=2x

4. （福州市）请在下面的“[”、“]”中分别填入适当的代数式，使等式成立：

5. （连云港市）观察下列各等式中数字的特征：-=×，-=×，-=×．将你所发现的规律用含字母a、b的等式表示出来： .

6. （辽宁）先化简，再求值：＋＋，其中a＝，b＝．

7. （常德市）先化简代数式

＋

÷，然后选取一个你喜欢的x的值代入求值.

8. （南通市）某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书．由于科普书的单价比文学书的单价高50％，因此学校购买的文学书比科普书多4本．求文学书的单价．

9. （北京）解分式方程：

+=2.

10. （长沙市）在社会主义新农村建设中，某镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需两队合做20天才能完成.

（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数．

（2）求两队合作完成这项工程所需的天数.

相关中考题链接参考答案

1. A2. A3. C4.-（答案不唯一）5. －=·或

－

＝

·6. .7. 原式=x2＋1.代值略（不唯一，但不能为±1）．8. 10元 ／ 本．9. x=3．10. （1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，依题意有：+

+

20=1.解之得x=60.经检验，x=60是原方程的解.乙工程队单独完成这项工程需60天．（2）设两队合作完成这项工程需y天，由题意有：

+

y=1.解得y=24.两队合作完成这项工程需24天.