平行线问题解读

朱亚邦江苏省数学特级教师，全国优秀教师，江苏省数学学会会员，中华全国中学教育研究会常委，曾兼任多家省级刊物通讯员、特约编委，被各级各类刊物录用文章逾百篇，曾获江苏省“红杉树”园丁金质奖.

平行线这部分内容很重要，它是我们以后学习几何图形的基础，因此我们要认真学好平行线的有关内容.为帮助同学们学好这部分内容，特归纳如下几种题型供同学们学习时参考.

一、基础题

1. 平行线判定题

例1如图1，已知∠1与∠2互补，∠2与∠3互补.直线l1与直线l2平行吗？为什么？

[解析：]因为∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，所以∠1=∠3，故l1∥l2.

2. 平行线性质题

例2如图2，已知AD∥EF∥BC，EG∥AC，则已标出的角中有几个角与∠1相等？

[解析：]因为EF∥BC，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠5=∠6.又由EG∥AC，可知∠1=∠5，故∠1=∠6.而由AD∥BC，可得∠1=∠4.共有5个角与∠1相等.

3. 平行线的判定与性质综合题

例3如图3，已知∠AED=∠C，∠B=∠3.∠1与∠2之间存在什么关系？为什么？

[解析：]因为∠AED=∠C，所以DE∥BC.可得∠B=∠ADE.

由∠B=∠3，可知∠ADE=∠3，所以AB∥EF.从而有∠2=∠4.

又因为∠1与∠4互补，所以∠1与∠2互补.

二、开放题

1. 条件开放题

例4如图4，CD平分∠ACB，DE∥AC.请补充一个条件，使∠1=∠2=∠3=∠4.

[解析：]观察图4，∠1、∠2、∠3、∠4与直线CD或直线EF有关，所以可以考虑在这两条直线上寻找解题的突破口.

两条直线比较特殊的位置关系有平行和垂直，这里只有这两条直线平行能得到∠1=∠2=∠3=∠4.因此可补充条件EF∥CD，或补充一个能使这两条直线平行的条件也可，如∠1与∠CEF互补.

2. 结论开放题

例5如图5，AB∥CD，EG、EH、FG、FH分别是∠BEF、∠AEF、∠EFD、∠EFC的平分线.请在图中找出两对互相垂直的线段，并说明理由.

[解析：]EG⊥EH.因为EG、EH分别平分∠BEF和∠AEF，所以∠1=∠BEF，∠2=∠AEF.故∠GEH=∠1+∠2=（∠BEF+∠AEF）=90°，即EG⊥EH.

EG⊥FG.因为EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，所以∠1=∠BEF，∠3=∠EFD.又因为AB∥CD，所以∠BEF+∠EFD=180°.故∠1+∠3=（∠BEF+∠EFD）=90°，即EG⊥FG.

三、探究题

1. 条件探究题

例6如图6，∠1=∠2，请你写出一个能推出CE平分∠ACD的条件.

[解析：]可从结论来考虑，要想得出CE平分∠ACD，从角的方面考虑应有∠2=∠3，从而可以找能使∠2=∠3成立的条件.如CE∥AB或∠2=∠4等均可.

2. 结论探究题

例7如图7，AB∥PQ∥CD，∠1=55°，∠EPF=100°.∠1与∠2相等吗？为什么？

[解析：]因为AB∥PQ，所以∠3=∠1=55°.

因为∠EPF=100°，所以∠4=100°-55°=45°.

又由PQ∥CD，可得∠2=∠4=45°.

因∠1=55°，故∠1≠∠2.

3. 规律探究题

例8如图8，AB∥CD，我们只要过E点作EF∥AB，即可推出∠AEC=∠A+∠C.观察图9，∠2+∠4+∠6+…与∠1+∠3+∠5+∠7+…+∠C存在怎样的关系？

[解析：]依据图8构造出图10，则由图8的结论可知∠E=∠A+∠EGH，∠F=∠HGF+∠C，故∠E+∠F=∠A+∠EGF+∠C.

由图8和我们所构造的图10的结论可以推出，在图9中有∠2+∠4+∠6+…=∠1+∠3+∠5+∠7+…∠C.

【责任编辑：潘彦坤】