聚焦平面直角坐标系中的面积问题

何春华

我们经常会遇到一些与平面直角坐标系有关的面积问题，三角形或四边形的顶点都可以用坐标表示出来，让我们求图形的面积.下面我们就将这类求面积的问题总结一下，希望能对大家有所启发.

1. 求一边在坐标轴上的三角形的面积

例1如图1，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（6，0），（2，4），求△ABC的面积.

[分析：]这道题要求的是△ABC的面积，由于△ABC的一边在坐标轴上，所以可以把线段AB看做三角形的底边，把点C到x轴的垂线段看做三角形的高，这样便可顺利地求出面积.

解： S△ABC=×5×4=10.

[评注：]当三角形的一边在坐标轴上时，往往可以把这一边看做底边，把另一顶点到坐标轴的垂线段作为高，然后再求面积.当图形平移到坐标轴上其他位置时一样可以用这种方法求解.

2. 求三条边都不在坐标轴上的三角形的面积

例2如图2，在△AOB中，点A、O、B的坐标分别是（1，5），（0，0），（4，2），求△AOB的面积.

[分析：]对于这类题，可将所求三角形的面积转化为几个图形的面积的和或差，如△AOB的面积可以看做一个矩形的面积减去三个小三角形的面积.要注意，与x轴（或y轴）平行的线段上的点的纵坐标（或横坐标）相同，线段的长度等于线段的两个端点的横坐标（或纵坐标）的差的绝对值.

解： 过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BC⊥x轴于C.分别延长线段EA和线段CB，使它们相交于D点，则∠EDC = 90°.由A、B两点的坐标可知，OC=4，BC=2，BD=3，AD=3，AE=1，OE=5.所以有

S△AOB=S矩形EOCD-S△AEO-S△ADB-S△OBC

=4×5-×5×1-×3×3-×4×2

=20---4

=9.

[评注：]对于三条边都不在坐标轴上的三角形来说，求面积时一般通过构造特殊图形来解决问题，如在这道题中我们将△AOB的面积转化为一个矩形的面积与三个小三角形的面积之差.如果将三角形平移到平面直角坐标系内其他位置，解题方法类似.

3. 求一边在坐标轴上的四边形的面积

例3如图3，四边形OABC在平面直角坐标系内，O、A、B、C 四点的坐标分别为（0，0），（1，2），（5，4），（6，0），求四边形OABC的面积.

[分析：]过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，这样四边形OABC的面积就变成两个三角形的面积与一个直角梯形的面积之和了.

解： 过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E.

由点的坐标的意义可知，AD=2，OD=1，DE=4，EC=1，BE=4.所以有

S四边形OABC=S△AOD+S直角梯形ADEB+S△BEC

=×1×2+×（2+4）×4+×1×4

=1+12+2

=15.

故四边形OABC的面积为15.

[评注：]这道题还可以用例2的方法解，把四边形OABC的面积转化为一个矩形的面积减去三个三角形和一个小矩

形的面积，同学们不妨一试.

4. 求四条边都不在坐标轴上的四边形的面积

例4如图4，四边形ABCD的四个顶点在平面直角坐标系内，A、B、C、D 四个点的坐标分别为（4，4），（-3，2），（-1，-1），（2，-1），求四边形ABCD的面积.

[分析：]四边形ABCD的面积可以看成是一个长方形的面积减去一些小三角形的面积.

解： 过点A作AF与直线CD垂直，垂足为F，过点B作BE与直线CD 垂直，垂足为E，过点A作AG与直线BE垂直，垂足为G.

由点的坐标的意义可知，AG=7，AF=5，DF=2，EC=2，BE=3，BG=2.所以有

S四边形ABCD=S矩形AGEF-S△AGB-S△BEC-S△ADF

=5×7-×2×7-×2×3-×2×5

=35-7-3-5

=20.

所以四边形ABCD的面积为20.

[评注：]四边形的面积往往可以转化成一个矩形的面积与一些小三角形面积的差（或和）的形式，这已成为解决平面直角坐标系中图形面积问题的基本方法.

【责任编辑：潘彦坤】

零——始于何时何地

零对于数的系统来说是必不可少的．但是，当开始创造数的系统时，并没有自动包含零．事实上，古埃及人的数的系统就没有零．公元前1700 年左右，六十进制数的位置系统发展起来．古巴比伦人将它与他们的360 天的日历相结合，并进行复杂的数学运算，但其中并没有设计零的符号，而是在需要放置零的地方留一个空的位置.大约在公元前300 年，巴比伦人开始用一个符号表示零．在巴比伦人之后，玛雅人和印度人发展了数的系统，他们的系统内有一个符号代表零，这个符号既起位置的作用，也起数零的作用．