从回文诗到镜反数

黄　瑞

中国文字优美而神奇，如果在音律辞藻与形式变化上巧妙构思，真有不少让人叹为观止的神奇景象．譬如说，“夫忆妻兮父忆儿”，如果你从后面倒过来读，那就会变成“儿忆父兮妻忆夫”，同样有意义，真是妙极了！

清初女诗人吴绛雪作有一首轱辘回文诗：

香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长．

长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香．

全文只有10个不同的字，描绘了一幅风吹水动、花香暗浮的夏日美景．妙的是诗的上两句倒着读过来就是诗的下两句，若把诗的前两句排成一个圆，顺时针读是上两句，逆时针读是下两句，就像是一只来回旋转的轱辘．

可将其精髓提取出来，反馈到数学领域中.我们把一个数倒读后所得的数，称为原数的“镜反数”．镜反数是一种相互的关系，例如1 234与4 321就互为镜反数．

杨振宁博士是研究理论物理的华裔知名学者，1957年因宇称不守恒理论而获得诺贝尔物理学奖．1979年3月，他在一封信中谈到了他的发现，揭示了自然数中存在的一些“镜反数”现象．

我们用双向箭头↔表示互为镜反数的关系，例如：12↔21．

上面左右两个自然数，各自平方后成为144及441．我们注意到，它们依然保持了镜反数的关系，即：122=144↔441=212．

13和31互为镜反数，它们各自平方后所得的数也保持了镜反数的关系，即：132=169↔961=312．

设自然数a的镜反数是b，如果a2、b2也是一对镜反数，我们称a是平方镜反数．

事实上，对于任何n位数（n大于1），都存在平方镜反数．如102，1 002，

10 002， …在1和2中间插入任意多个0组成的数都是平方镜反数；又如103，1 003，10 003等.可以发现，这些平方镜反数只是由0，1，2，3组成，而且它们的排列有着“美丽的”规律．

不知道你注意到这个现象没有：12、13是相邻的自然数，而且它们都是平方镜反数.我们把这样的一对自然数称为相邻平方镜反数．12、13就是相邻平方镜反数，用符号记为｛12，13｝．

在两位数中，除了｛12，13｝外，还有没有其他的相邻平方镜反数？

在两位数中还有：｛11，12｝，即112=121↔121=112，122=144↔441=212；｛21，22｝，即212=441↔144=122，222=484↔484=222．

在三位数中有：｛112，113｝，即1122=12 544↔44 521=2112，1132=12 769↔96 721=3112．

四位数中有：｛1 112，1 113｝，即1 1122=1 236 544↔4 456 321=2 1112，1 1132=1 238 769↔9 678 321=3 1112．

五位数亦是如此（一试便知）．

因此，现在只要把它们扩充：｛101，102｝，｛1 001，1 002｝，｛10 001，

10 002｝，…就可以得到无穷多组相邻平方镜反数．

在镜反数中，不仅有相邻平方镜反数的奇妙现象，还有相邻乘积镜反数的有趣现象.如12与13是一对相邻的自然数，12×13=156，它们镜反数的乘积是31×21=651． 156和651互为镜反数，即12×13=156↔651=31×21． 12、13就是一对相邻乘积镜反数，用符号可记为［12，13］．事实上，所有的相邻平方镜反数都是相邻乘积镜反数．除了平方镜反数，相邻平方镜反数，相邻乘积镜反数外，还有立方镜反数等．

镜反数其实也是数论中的内容.数论内容的确丰富多彩，仅镜反数这部分内容就这样令人流连忘返．关于镜反数，还有许多奇妙的性质等待我们去探索．