共边定理

作者简介：张景中，1936年生，河南省汝南人.1959年毕业于北京大学数学力学系.1995年当选为中国科学院院士.现任中国科普作家协会理事长，中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长，广州大学教育软件研究所名誉所长，教育部教育信息技术工程研究中心学术委员会主任.

科研之余，热心科普和基础教育.出版少儿读物10余册，多次获奖，其中《数学家的眼光》于2005年获国家科学技术进步二等奖.所主持开发的“Z+Z智能教育平台”在全国上千所中学广泛使用，得到一致好评.

图1中有△PAB和△QAB，问：△PAB与△QAB的面积之比是多少？

这个问题不难解答.因为三角形面积等于底和高之积的一半，而显然△PAB和△QAB共底，要求面积之比，只需求两三角形的高之比.作出两三角形的高PD、QE（如图2），可得=.那么，我们要做的工作就是作两个高，测量两次，作一次计算，这个问题就解决了.

有没有更简单一点的办法呢？因为作高比较麻烦.如果只是尺子一摆，顺手作出，那么就可能出现较大的误差.可不可以避免作高呢？办法也是有的！连接PQ，可以延长PQ、AB（如图3），使之相交于点M，则有=.这是为什么呢？

学过相似三角形的读者很快就会发现△PDM∽△QEM，因而有=.那么，没有学过相似三角形的读者能否明白其中的道理呢？办法仍然是有的.在直线AB上取点N（如图4），使得MN=AB，于是==.这里用到了“同高三角形的面积之比等于底之比”.因为我们把PM看成△PNM的底，把QM看成△QNM的底，那么△PNM和△QNM就成了同高三角形.

回顾我们思考的过程，从中可以获得一些有益的启示：

第一，不要放过那些表面上看似寻常的问题，它们的背后也许还有很多你没弄明白的东西；

第二，找到一种解决方法的时候，不妨再想想，有没有更简单、更高明的方法；

第三，更简单、更高明的方法也许要用到更多的数学知识.不妨进一步想想，能否用更少的、更基本的知识来说明它.

问题并没有结束，我们还可以举一反三.图1中画出的两个三角形有一条公共边AB.但是，有公共边的两个三角形情形是多种多样的，它们的位置关系并不一定像图1那样.下面我们给出一个定理.