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月历中的一元一次方程

2008-07-22周太军

关键词:岁数虚线正整数

作者简介

周太军,男,1968年出生,本科学历,2005年被评为中学数学高级教师.1989年7月参加工作,一直在山东沂源县南麻中学任教.先后在新课程教师培训以及中考复习中多次执教县级公开课;在课件制作、说课等活动中获得县级一等奖;多次获得全国初中数学竞赛、山东省初中数学竞赛优秀指导奖;多次获得县中考送考一等奖;曾荣获县级优秀青年、优秀青年教师、优秀备课组长、骨干教师、教学能手等称号;现任校教务副主任,承担淄博市教育学会《自主学习》课题的研究.

例1小明编写了这样一道应用题:“我是4月出生的,我现在的岁数的2倍加上2,正好是我出生那月的总天数.你猜我有几岁?”请你求出小明现在的岁数.

分析:4月份有30天,利用“我现在的岁数的2倍加上2,正好是我出生那月的总天数”得到方程,即可求出小明现在的岁数.

解:设小明今年x岁,则2x+2=30,解得x=14.

答:小明今年14岁.

小结:根据当月天数与年龄的关系列出方程是解题的关键.

例2小明利用暑假外出旅游,小明说:“我出去玩了一周,这七天日期数之和与出门的该月份数加在一起正好是84.猜猜我是几号回来的.”

分析:通过观察月历可以知道,每行相邻的两个数,右边的一个数比左边的一个数大1.若设这七天中的某天是x号,这七天的日期数之和可以表示出来,另外设出月份来,便可得到方程,得到问题的答案.

解:设小明外出旅游这七天中最中间的日期是x(x为正整数)号,另外六天是(x-3)号,(x-2)号,(x-1)号,(x+1)号,(x+2)号,(x+3)号,他出门的月份是y(y为正整数,且1≤y≤12)月,则(x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+y=84.

化简得7x+y=84,故x+y/7=12.因x,y是正整数且1≤y≤12,所以y=7,x=11.故x+3=14.

答:小明14号回来的.

小结:在处理月份、日期的问题时,要注意选择合适的日期设元.

例3月历上,爷爷生日那天的上、下、左、右4个日期数的和是76,你能说出爷爷的生日是几号吗?

分析:图1是某个月的月历.请观察该月历中每一列相邻的两个数,你发现了什么?然后再观察用虚线长方形框起来的九个数.若设爷爷的生日是x号,你能用含x的代数式表示另外的4个日期数吗?然后根据4个日期数的和是76列方程.

解:设爷爷的生日是x号,则爷爷生日那天的上、下、左、右4个日期数分别是x-7,x+7,x-1,x+1,根据题意得(x-7)+(x+7)+(x-1)+(x+1)=76,解得x=19.

答:爷爷的生日是19号.

小结:月历中每一列相邻的两个数,下边的一个数比上边的一个数大7.观察图1中用虚线长方形框起来的九个数可以发现:(1)中间一个数是所有九个数的平均值.(2)每一行、每一列、每一斜排,中间一个数都是它们的平均数.故例3可列方程:2x+2x=76.显然比上边的方程简单得多,由此可见认真观察和思考的重要性.

例4如果某年的5月份有五个星期五,它们日期数的和为80,那么这个月的4号是星期几?

分析:首先我们找出这五个日期数之间的关系,相邻的两个数从小到大依次增加7,再根据题意列出方程,进而推出4号是星期几.

解:设这五个日期数中最小的数为x-14,其余四个数分别为x-7,x,x+7,x+14,由题意得(x-14)+(x-7)+x+(x+7)+(x+14)=80.解得x=16.所以x-14=2.因为2号是星期五,所以4号是星期日.

小结:要清楚一列上相邻的五个日期数之间的关系:相邻的两个数相差7.

例5在月历中,若右倾斜的一列相邻三个日期数的和为45,请你求出中间的日期.

分析:图2是某个月的月历,请观察该月历中用虚线框起来的右倾斜的一列相邻的两个数(如10,18或18,26或11,19),你发现了什么?该月历中用虚线框起来的右倾斜的一列相邻的三个数(如10,18,26),你发现了什么?若设中间的一个日期为x号,其余的两个日期怎样表示?

解:设中间的日期为x号,则其余的两个日期数为x-8,x+8,根据题意得,(x-8)+x+(x+8)=45.解得x=15.即中间的日期是15号.

小结:图2中,可以通过观察得到:在月历中,左上方到右下方相邻两个数相差8.同样可以通过观察如图3某个月的月历(看用虚线框起来的数便于总结结论)得到:在月历中,右上方到左下方相邻两个数相差6.

例6你能在月历中圈出一列上相邻的三个日期数,使得它们的和是40吗?你知道这是为什么吗?

分析:观察一列上相邻的三个数的和的特征来回答;也可以求出这三个数,看看是否符合月历上的数的特征.

解:通过观察与研究,可知月历上一列上相邻的三个日期数的和是3的倍数,而40不是3的倍数,故不能.

月历中的规律非常有趣,尤其是由它拓展延伸的一些问题,同学们不妨找一些学习一下.

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