一个数学模型的应用

邢进文

法国数学家笛卡儿曾说过，我们所解决的每一个问题都将成为一个模式，以用于解决其他问题.他谈到的模式就是我们现在常说的数学模型，运用建模思想可以将同一类问题轻而易举地解决.请看下面这道题.

【题目】如图1，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，你能判断出OE与OF的位置关系吗？请说明理由.

[点拨：]这道题其实是让我们证明一个推理——邻补角的平分线互相垂直.解答本题要经历“角的位置关系”➝“数量关系”➝“线的位置关系”这一过程，其中角平分线是将已知与未知联系起来的桥梁.

解： OE与OF垂直.理由如下.

∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，

∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.

又∵∠AOB与∠BOC互为邻补角，

∴∠AOB+∠BOC=180°.

∴ ∠1+∠2=（∠AOB+∠BOC）

=90°.

∴OE与OF垂直.

这道题的解法演示了几何说理题的解题步骤，介绍了证明两线垂直的一个基本方法——转化为求两线夹角为90°.该模型为我们提供的思路可以解答与其类似的题目.

例1如图2，E是直线AC上的一点，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D.你能判断出BE与DE的位置关系吗？请说明理由.

[点拨：]看到平行，应首先想到利用平行线的性质，所以可过E点作AB的平行线.

解： BE与DE垂直.理由如下.

如图2，过E点作EF∥AB.

因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD.

故∠3=∠B，∠4=∠D.

所以∠1=∠3，∠2=∠4.

由前面的模型可知BE与DE垂直.

[点评：]本题通过添加辅助线，构造出一对邻补角，从而使问题转化为我们熟悉的模型.

例2如图3，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，交AE于点E.请判断AE与CE的位置关系，并说明理由.

[点拨：]解答此题的方法比较多，可适当添加辅助线构造出相等的角，以便于解题.

解： 如图3，过点E作EF∥AB，GH∥CA.

因AB∥CD，故EF∥CD.

所以∠1=∠6，∠2=∠5，∠3=∠7，∠4=∠8.

而∠1=∠2，∠3=∠4，故∠5=∠6，∠7=∠8.

问题又转化成了前面的模型，可知AE⊥EC.

【责任编辑：穆林彬】

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”