２００８年高考数学解答题命题趋势预测

王　勇

近几年来，高考数学解答题一般为6个题，分别为三角题、概率题、导数题、立几题、解几题、压轴题（代数型或几何型），变一题把关为多题把关，前两题一般难度稍低，最后四个题分别考查不同的内容，入口宽，但设置层层关卡，多层次、多角度地对考生进行四种能力的考查，用以区分考生灵活地运用知识和方法去分析和解决问题的能力.解答题都具有一定的综合性，不是在某个单一知识点挖掘，而是注意多个知识点与方法的联系与有机结合，在知识、方法网络的交汇点处设计试题.下面分类预测六道解答题的命题趋势并斗胆示例（限于篇幅，仅给出答案，解答过程从略）予以押猜，供研读参考.

1 三角题——平平淡淡考功底

1．以“平面向量”进行包装，实考三角函数的图象和性质；

2．以“平面向量”进行包装，实考三角形中的三角函数问题.

点评 本题由一道常见的题目巧妙改编而成，考查平面向量与三角函数的交汇，其中正弦定理、余弦定理、均值不等式等的参与，给本题增色添彩，堪称一道优秀的创新题.

2 概率题——想说爱你不容易

1．理科题重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力；

2．文科题主要考查古典概率，互斥事件的概率，独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；

3．难度有所提升，考生应有心理准备.

示例3 （理）在一款网络游戏中，每个玩家被赋予了一种“攻击力”属性（记为AT）.某玩家现在的AT值为100，他从该游戏官方网站的公告得知，在某处丛林里，有一群“外星怪兽”正在摧毁森林，他决定独自去找这些“怪兽”一一战斗.依游戏设定，以他目前的级别，在与这群“怪兽”的所有战斗中，他获胜的概率均为23，若不能获胜，他总有机会“逃跑”.如果不能连续获胜，则获胜一场战斗，他的AT值将加3；如果连续获胜n场战斗，则他在这n场战斗中增加的AT值分别为3,4…,n+2(n∈N*），如果“逃跑”，则他的AT值不变.已知在他的级别提升之前，他总共与7只这样的“怪兽”进行了战斗.

（1）求他在这7次战斗中获胜3场的概率；

（2）如果已知他在这7次战斗中获胜了3场，求他现在的AT值的期望.

答案 （1）2802187；（2）110.

点评 本题以学生喜爱的游戏为背景，重点考查了独立重复事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率等，考查学生分析问题和解决问题的能力.还考查了随机变量的分布列和数学期望，极富思考性、趣味性和挑战性.

示例4 （文）现有分别写有数字1，2，3，4，5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片.每次试验抽一张卡片，对i=1,2,3,4,5作如下约定：

若取到一张写有数字为i的白色卡片，则得i分，

若取到一张写有数字为i的黄色卡片，则得i+1分，

若取到一张写有数字为i的红色卡片，则得i+2分.

（1）求得分为3分的概率；

（2）求得分大于3分的概率.

答案 （1）15；（2）35.

点评 本题考查互斥事件的概率加法公式，其中第（2）问所用的思想方法“正难则反”值得充分借鉴和回味.读懂题目所给的约定是求解的关键.

3 导数题——代数推理好载体

1．将函数、方程、不等式与导数结合在一起，充分发挥导数的工具作用，应用导数研究函数的性质、方程根的分布、不等式的有关问题等，是新课程高考的重点和热点问题，不可等闲视之;

2．文科题给出的是高次函数（兼考查导数的几何意义），理科题给出的是对数函数、指数函数及复合函数.此类题型是考查考生代数推理能力的极好素材，倍受命题者的青睐！

示例5 （理）已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0,1)上是增函数.

点评 本题将函数、数列、数学归纳法、不等式与导数结合在一起，充分发挥导数的工具作用.第（3）问通过举反例否定命题的方法应切实掌握.

点评 本题应用导数研究函数的性质、曲线的切线、不等式等问题，是新课程高考的重点和热点问题，敬请特别关注.

4 立几题——传统向量比法力

1．以柱体和锥体为载体全方位地考查立体几何中的重要内容，如线线、线面与面面的位置关系、二面角问题、距离问题等，既有计算又有证明，一题多问，阶梯排列;

2．此题一般既可用传统方法解答，又可用空间向量处理，有的题是两法兼用，可谓珠联璧合，相得益彰！究竟选用哪种方法，要由自己的长处和图形特征来确定;

3．“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点，敬请特别关注.

图1示例7 如图1，已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°,AB∥CD且AB=12CD.

（1）在线段PC上求一点F，使BF∥平面PAD；

（2）若PA=AD，求二面角B-PC-D的大小；

（3）设PA=AD=2，CD=3,求A点到平面PBC的距离.

答案 （1）略；（2）90°；（3）33417.

点评 本题考查了直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角的计算和点到平面距离的求法.基于题目中出现了三条互相垂直的线段，它是建立空间直角坐标系的“题眼”.本题第（1）问用几何法求解较好，而第（2）、（3）问用空间向量方法求解较为简捷，体现了两种方法的活用.注意抓住空间向量方法的代数化、程序化特征，能降低思维量.

示例8 如图2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都为a，P为A1B上的点.

（1）试确定A1PPB的值，使得PC⊥AB；

（2）若A1PPB=23，求二面角P-AC-B的大小；

（3）在(2)的条件下，求C1到平面PAC的距离.

图2答案 （1）略；（2）60°；（3）12a.

点评 本题以正三棱柱为载体全方位地考查了立体几何中的重要内容，如线面与线线的位置关系、二面角问题、距离问题等.考查的知识点丰富，是一道优秀的创新型试题.建立空间直角坐标系利用空间向量求解的思路和方法应熟练掌握，这样可使思维程序化.

5 解几题——精打细算合情理

1．平面向量与平面解析几何都具有数与形结合的特征，在它们的知识点交汇处命题，正是高考命题的一大亮点;

2．考查直线与圆锥曲线的位置关系的问题是常考常新、经久不衰！解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性（要求品出“几何味”来），需要你“精打细算”是情理之中的事情.解析几何题对你的意志品质和数学机智都是一种考验和检测;

3．涉及圆锥曲线的参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题是高考的常考题型.

示例9 定义离心率e=5-12的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，P为椭圆E上的任意一点.

（1）试证：若a,b,c不是等比数列，则椭圆E一定不是“黄金椭圆”；

（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F,P的直线l与y轴的交点R满足RP=-2PF？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；

（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S(0,2)，求使SP2取最大值时点P的坐标.

答案 （1）略；（2）满足题意的直线不存在；

（3）点P的坐标为

点评 圆锥曲线在新课程高考中的要求不仅没有降低，反而由于它可以与平面向量综合在一起，还有所加强，因而常以把关题面孔出现.解答这类问题的关键是熟练掌握解析几何的思想方法.在解答这类有一定难度的解答题时，要有信心，不言放弃，因为高考评分是“踩点得分”，你依据条件能写多少，就尽量多写，踩上得分点便有分数，如本题第（1）问是“送分上门”，弃而不答，令人惋惜！

图4示例11 如图4，已知点H(-3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP·PM=0，PM=-32MQ.

（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

（2）过定点D（m，0）（m>0)作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED.

（3）在（2）中，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

答案 （1）动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线（除去顶点）；（2）略；（3）当m>1时，满足条件的直线l′存在，其方程为x=m-1；当0

点评 本题考查解析几何中轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系等，其中第（3）问设计为一个探究性的问题，加大了题目难度，有较好的区分和选拔功能.

6 压轴题——分段得分巧智取

1．压轴题经常是将函数、数列、不等式、导数等有机地综合，或将解析几何和立体几何等巧妙地交汇，构成一道超大型综合题，体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想.貌似“庞然大物”，令人望而生畏！对许多考生来讲是形同虚设，考试时经常是全题放弃，令人惋惜！要知道高考评分是“踩点得分”，要依据条件能写多少，就尽量多写，踩上得分点便有分数.正确的策略是“分段得分巧智取”！

答案 （1）单调递增区间为(-∞,0]和[2,+∞)，单调递减区间为[0,1)和(1,2]；（2）略；（3）略.

点评 本题以函数、数列为背景综合考查函数、方程、导数、函数构造、导数的应用、不等式的证明以及分析问题、解决问题的能力. f(x)解析式的获得是研究单调性的前提; 对于数列{a璶}通项公式的获得又是解决(2)的前提;(3)的解决又需要以(2)的结论作为基础.值得强调的是,(2)中的不等式为数列不等式,我们在处理时先是通过连续化,将其转化为函数不等式,而函数不等式又借助于构造新函数,运用求导研究单调性的方法予以解决.

示例13 （文）对于函数f(x)，若存在x∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，如果函数f(x)=x2+abx-c(b,c∈N*)有且只有两个不动点0、2，且f(-2)<-12.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）已知各项不为零的数列{a璶}满足4S璶·f(1a璶)=1，求数列{a璶}的通项公式；

（3）如果数列{a璶}满足a1=4,a璶+1=f(a璶)，求证：当n≥2时，恒有a璶<3成立.

答案 （1）f(x)=x22(x-1)(x≠1)；

（2）a璶=-n；（3）略.

点评 本题以函数和数列为背景,综合考查了方程、函数、数列、不等式等知识，具有一定的综合性，在（3）中，我们用到了作差比较法，这实质上是证明不等式（或者比较大小）最基础、最重要而且最常考的方法，这点应该引起文科考生的足够重视.

图5示例14 如图5所示，A点是30°角的二面角α-l-β的半平面α内一定点，A到直线l的距离为3，过A作AB⊥l于B，O在BA的延长线上，且|AO|=1，平面α内有一点P到平面β的距离等于P到A点的距离. D点在直线AB上，AD=λAB(λ>0)，在α内过点D作AB的垂线m.

（1）建立适当直角坐标系，求P点的轨迹方程；

（2）是否存在过A点的直线MN，使它交P点的轨迹于M、N两点，其中点S在直线m上的射影为R，且满足MR·NR=0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，则说明理由.

答案 （1）以O为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则P点的轨迹方程为x24+y23=1；（2）存在这样的直线MN，只需13<λ≤12即可.

点评 本题重点考查了圆锥曲线的定义、直线与圆锥曲线的位置关系及解析几何的基本思想方法.以二面角为背景设置问题，具有较强的新颖性和综合性，难度较大.解答这类综合性较强的解答题，首先不能有畏惧心理，事实上，越是综合性强的题目所涉及到各部分的知识越浅显，如本题所涉及到立体几何知识非常简单，只需利用二面角的知识得出P点到A点的距离等于P点到直线的距离的一半即可.一般地，在高考试题中，压轴题都有一定的难度，解答这类难度较大题的原则是“不求拿满分，力争多得分”.

根据以上分析并结合2008年新考纲的变化和作者本人多年的经验，预测2008年高考数学六道解答题的命题趋势如下：

以平面向量与三角的交汇题或三角函数与解三角形的融合题开场——稳定考生情绪；概率与统计应用题助兴——吊起考生胃口；立体几何题（传统方法与向量方法任选）平稳过渡——考生志在必得；导数与函数题率先发难——考生骑虎难下；解析几何题把关——考生面临考验；数列、不等式、函数等的大型综合题压轴——考生尽早了断（放弃、分段得分或强攻）！

作者简介 见本刊2008年第3期

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